Enunciado

Água doce escoa horizontalmente do segmento 1 de uma tubulação, com uma seção reta A 1 , para o segmento 2 , com uma seção reta A 2 . A figura mostra um gráfico da relação entre a diferença de pressão ρ 2 -   ρ 1 em função do inverso do quadrado A 1 - 2 da área que seria esperada para uma vazão de certo valor se o escoamento fosse laminar em todas as circunstâncias. A escala do eixo vertical é definida por   ∆ p s = 300   k N / m 2 . Nas condições da figura, quais são os valores (a) de A 2 e (b) da vazão?

Passo 1

Fala galerinha bonita, tudo beleza?

Essa é uma questão de fluidos que está comparando dois pontos de um encanamento. De cara vamos usar as nossas duas ferramentas principais para casos como esses:

A equação de Bernoulli:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g y 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g y 2

E a equação da continuidade:

A 1 v 1 = A 2 v 2

Vamos ver se conseguimos fazer essas duas equações darem algum sentido para o gráfico.

Primeiro, isolando a diferença de pressões Δ p = p 2 - p 1 na equação de Bernoulli:

Δ p = 1 2 ρ v 1 2 - v 2 2 + ρ g ( y 1 - y 2 )

O enunciado fala que a água escoa “horizontalmente”, ou seja, não existe diferença de altura:

Δ p = 1 2 ρ ( v 1 2 - v 2 2 )

Passo 2

Como o gráfico do enunciado está em função de A 1 - 2 , vamos usar a equação da continuidade para tentar substituir isso na fórmula que acabamos de achar.

A 1 v 1 = A 2 v 2

Isso permite dizer que:

v 1 = A 2 v 2 A 1

Substituindo isso na fórmula que encontramos pela equação de Bernoulli:

Δ p = 1 2 ρ A 2 v 2 A 1 2 - v 2 2

E chegamos na função:

Δ p = ρ A 2 2 v 2 2 2 A 1 - 2     - 1 2 ρ v 2 2

Pronto, essa é uma função de Δ p em função de A 1 - 2 , ou seja, é exatamente a função que está representada no gráfico.

Passo 3

Se chamarmos de α o coeficiente angular da reta, e de C o coeficiente linear, dá pra ver pela equação da reta que:

α = ρ A 2 2 v 2 2 2

E

C = - 1 2 ρ v 2 2

Sabemos que o coeficiente angular pode ser identificado no gráfico pelo ponto em que a reta cruza o eixo y , nesse caso:

- 300.10 3 = - 1 2 ( 10 3 ) ( v 2 2 )

v 2 = 600.10 3 10 3 = 24,49 m s ≈ 24,5   m / s

Passo 4

Agora olhe para o ponto em que a reta cruza o eixo x , isso acontece no ponto ( 16,0 ) , substituindo isso na nossa função:

0 = ρ A 2 2 v 2 2 2 16 - 300.10 3

600.10 3 16 = 10 3 A 2 2 24,5 2

A 2 = 600 16 24,5 2 = 0,25   m 2

E essa é a resposta da letra (a).

Passo 5

Agora, a letra (b) quer saber a vazão da tubulação. Vamos ver a fórmula para isso:

R V = A 1 v 1 = A 2 v 2

Como já sabemos A 2 e v 2 , vamos usar o último termo da igualdade:

R V = A 2 v 2 = 0,25 24,5 = 6,125   m 3 / s ≈   6,12   m 3 / s

Pronto!

Resposta

(a) A 2 = 0,25   m 2

(b) R V = 6,12   m 3 / s

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