Enunciado

A pressão em uma seção de um cano horizontal de 2,00 cm de diâmetro é de 142kPa. Água escoa através do cano a 2,80 L/s. Se a pressão em um certo ponto é reduzida a 101 kPa, devido a um estrangulamento de uma seção do cano, qual deve ser o diâmetro da seção estrangulada?

Passo 1

Falaa, querido! Temos um tubo onde há um estrangulamento (redução da seção transversal). Ele quer saber o diâmetro da seção depois desse estrangulamento para que a pressão passe a ser de 101   k P a .

A ideia aqui é a gente analisar dois pontos. O ponto 1, que fica antes do estrangulamento, e o ponto 2 que fica depois.

No ponto 1, temos os seguintes dados

P 1 = 142   k P a = 142   000   P a

d i a m e t r o = d 1 = 2   c m = 0,02   m

No ponto 2

P 2 = 101   k P a = 101   000   P a

d 2 = ?

E tem dados que valem para os dois pontos. Temos a massa específica da água que vale

ρ = 10 3   k g / m 3

E a vazão volumétrica, que como água é incompressível, vai ser a mesma em todos os pontos

Q = 2,80 L s = 2,8 10 - 3   m 3 / s

Para questões assim com fluxo e um estrangulamento, temos duas fórmulinhas uteis. A da vazão

Q = v A

E a de Bernoulli

P 1 + ρ g h 1 + 1 2 ρ v 1 2 = P 2 + ρ g h 2 + 1 2 ρ v 2 2

A ideia é usar esses dados e essas fórmulinhas para achar d 2 . Vamos!

Passo 2

Meus consagrados, inicialmente, iremos fazer uso da equação da continuidade, dada por:

Q 1 = Q 2 = Q

Ela diz que a vazão é sempre a mesma, não importa o ponto. Substituindo a fórmula da vazão

A 1 . v 1 = A 2 . v 2

Onde:

A 1 e A 2 são as áreas das seções transversais em no ponto 1 e no ponto 2;

v 1 e v 2 são as velocidades de fluxo nos respectivos pontos.

Para prosseguirmos, precisaremos lembrar de uma coisinha, já que iremos considerar as seções como sendo circulares:

A = π r 2

Como consequência disso:

v 2 π r 2 2 = v 1 π r 1 2

Tal que: r = d 2

Então:

v 2 π d 2 2 4 = v 1 π d 1 2 4

d 2 = d 1 v 1 v 2

Já sabemos d 1 :

d 2 = 0,02 v 1 v 2

Passo 3

Notem que ainda possuímos 3 incógnitas: d 2 , v 1 , v 2 , para tentarmos eliminá-las, vamos tentar entrelaçar algumas equações para facilitar nossa vida!!!

Vamos tentar eliminar v 1 da nossa equação.

Usando a fórmula da vazão em 1:

Q = A v

Q 1 = π d 1 2 2 v 1

Vimos que para qualquer ponto, Q = 2,8 10 - 3 e já sabemos quem é d 1 :

2,8 10 - 3 = π 0,02 2 2 v 1

Isolando v 1 :

v 1 = 2,8 10 - 3 π 0,02 2 2 = 8,91   m / s

Passo 4

Por último, iremos usar a equação de Bernoulli para eliminar v 2 :

P 1 + ρ g h 1 + 1 2 ρ v 1 2 = P 2 + ρ g h 2 + 1 2 ρ v 2 2

Notem que a questão nos informa que ambas as extremidades estão à mesma altura, logo h 1 = h 2 portanto podemos cancelar a expressão ρ g h de ambos os lados da equação e passamos a ter:

P 1 + 1 2 ρ v 1 2 = P 2 + 1 2 ρ v 2 2

Como queremos eliminar v 2 , vamos isolá-lo, meus amigos:

2 P 1 + ρ v 1 2 = 2 P 2 + ρ v 2 2

ρ v 2 2 = 2 P 1 + ρ v 1 2 - 2 P 2

v 2 2 = 2 ( P 1 - P 2 ) ρ + v 1 2

v 2 = 2 ( P 1 - P 2 ) ρ + v 1 2

Vamos substituir nossos dados:

v 2 = 2 ( 142000 - 101000 ) 10 3 + 8,91 2

v 2 = 12,7   m / s

Passo 5

Finalmente, agora a gente acha d 2 . Lembra que achamos que

d 2 = 0,02 v 1 v 2

Substituindo os valores que achamos para as velocidades

v 1 = 8,91   m / s

v 2 = 12,7   m / s

d 2 = 0,02 8,91   12,7

d 2 = 0,01 675   m

d 2 = 1 , 6 7 5   c m

Resposta

d 2 = 1 , 6 7 5   c m

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