Enunciado

Alguns rifles podem disparar uma bala com a velocidade escalar de 965   m / s enquanto ela passa pelo cano da arma. Se o cano da arma tem 70,0   c m de comprimento e se a bala acelera de forma uniforme dentro dele a partir do repouso, a) qual é a aceleração (em g ) da bala no cano da arma e b) qual é tempo (em m / s ) que ela para percorrer o cano? c) Se, quando esse rifle é disparado verticalmente, a bala atinge uma altura máxima H, qual é a altura máxima (em termos de H) para um rifle novo que produza a metade da velocidade no cano desta?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Então, a gente quer a aceleração da bala no cano da arma. Nós vamos aplicar equações de aceleração constante (MRUV) ao movimento da bala.

Como não temos tempo decorrido e o enunciado não nos pede o tempo, t , vamos escolher a equação de Torricelli:

v x 2 = v 0 x 2 + 2 a x ∆ x

v x é a velocidade no deslocamento Δ x

v 0 x é a velocidade inicial

a x é a aceleração

Repara que o problema dizer que a bala parte do repouso, logo v 0 x = 0 .

Passo 2

Além disso, ele nos fornece a velocidade com que a bala sai do cano, v x = 965   m / s , e o tamanho do cano, ∆ x = 0,7   m .

Substituindo na equação

965 2 = 0 2 + 2 a x 0,7

Isolando a x

a x = v 0 x - v x 2 ⋅ ∆ x

= 965 2 - 0 2 ⋅ 0,700

= 6,65 ∙ 10 5 m / s

O enunciado pede o resultado em g . Isso é o mesmo que pedi o valor da aceleração em relação a aceleração da gravidade g = 9,8   m / s 2 . Para sabermos nossa aceleração e m   g , a gente a divide pela aceleração da gravidade, assim:

a x g = 6,65 ∙ 10 5 m / s 2 9,8   m / s 2

a x g = 6,79 ∙ 10 4

Então,

a x = 6,79 ∙ 10 4 g

Passo 3

b) Só para corrigir um errinho do enunciado. Ele pede o tempo em milissegundos, ou seja, m s e não em m / s (que é uma unidade de velocidade).

Aqui, vamos fazer as mesmas considerações do item (a), temos os mesmos dados.

Para que possamos encontrar o termo, será utilizada a seguinte equação:

∆ x = v x - v 0 x 2 t

Para chegar nessa equação basta fazermos a x = v x - v 0 x t na equação de Torricelli.

Seguindo com a substituição dos valores,

t = 2 ∆ x v x - v 0 x

= 2 ⋅ 0,700 m 965 m s

= 1,45 ∙ 10 - 3   s

Para passar para milissegundos, a gente só faz m = 10 - 3 :

t = 1,45   m s

Passo 4

c) Temos dois movimentos. O do rifle velho e o do rifle novo.

Bom, aqui, nós vamos desprezar a resistência do ar, então a bala estará em queda livre.

Nós vamos usar as equações de aceleração constantes para estabelecer a velocidade inicial, v 0 , e a altura máxima, H .

Vamos tomar como + y estar para cima.

Então, podemos usar a equação de Torricelli para descrever o movimento da bala saindo do rifle e chegando na altura máxima para os dois casos:

v y 2 = v o y 2 + 2 a y ∆ y

A velocidade final é v y = 0 , já que estamos na altura máxima, e a velocidade inicial é a velocidade que a bala sai do rifle. A distância percorrida vai ser h m á x , a altura máxima atingida em cada caso. Nossa equação fica:

v o y 2 h m á x = - 2 a y

Essa aceleração a y é constante para os dois movimentos. Então podemos escrever para o rifle velho:

v o y 2 H = - 2 a y

E para o novo, temos que a velocidade inicial é a metade da anterior, então:

v 0 y 2 2 h m á x = - 2 a y

Passo 5

Portanto, podemos equacionar h m á x em função de H igualando essas duas equações:

v o y 2 H = v 0 y 2 2 h m á x

h m á x = H 1 2 v 01 v 01 2

= H 4

Resposta

  1. a x = 6,79 × 10 4 g
  2. t = 1,45 m s
  3. H 4
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