Enunciado

Uma amostra de 2 mol de um gás monoatômico ideal tem uma pressão inicial de 2 atm e um volume inicial de 2 L. O gás é, então, conduzido através do seguinte ciclo quase estático: Ele se expande isotermicamente até que seu volume seja de 4L. Depois, ele é aquecido a volume constante até que sua pressão seja de 2 atm. A seguir, ele é resfriado à pressão constante de volta ao seu estado inicial.

  1. Mostre este ciclo em um diagrama PV;
  2. Determine a temperatura no final de cada etapa do ciclo;
  3. Calcule o calor absorvido e o trabalho realizado pelo gás durante cada etapa do ciclo.

Passo 1

Obs: uma observação antes de começar. O enunciado dessa questão está com um probleminha de tradução. Faltou ele dizer que temos 2 mols do gás, beleza? Aí na resolução, vamos considerar esse valor.

a) Muito bem, nós precisamos construir um diagrama PV para os três processos descritos. Vamos analisar separadamente cada um:

Processo 1-2) Nós temos a pressão inicial de P 1 = 2   a t m e um volume inicial de V 1 = 2   L . Neste passo o gás se expande isotermicamente (temperatura constante) até que seu volume final seja V 2 = 4 L .

Precisamos saber também a pressão final P 2 , para saber o ponto final desse processo no diagrama PV. Mas como achamos?

Vamos começar usando a lei dos gases:

P 1 V 1 T 1 = P 2 V 2 T 2

Como a temperatura é constante, T 1 = T 2 , então

P 1 V 1 = P 2 V 2

Isolando a pressão:

P 2 = P 1 V 1 V 2

Substituímos:

P 2 = 2   a t m   x   2   L 4   L = 1   a t m

Esse processo no diagrama fica sendo então uma curva com concavidade para cima que liga o ponto V 1 , P 1 = 2,2 ao V 2 , P 2 = 4,1 .

Processo 2-3) O gás é aquecido a volume constante, então V 3 = V 2 = 4 L , até que sua pressão seja de 2 atm. Aqui já temos todas as informações! Como o volume é constante, vamos sair do ponto V 2 , P 2 = 4,1 e subir reto ao ponto V 3 , P 3 = 4,2

Processo 3-1) Aqui ele volta ao seu estado inicial a pressão constante, então vamos fazer um segmento de reta horizontal ligando V 3 , P 3 = 4,2   a V 1 , P 1 = 2,2 .

Sabemos tudo o que precisamos. Agora vamos para o diagrama PV:

Passo 2

b) Neste passo vamos focar em achar as temperaturas pedidas na letra b. Vamos!

Processo 1-2) Temos aqui a expansão isotérmica, ou seja, a temperatura é igual ao longo deste caminho. Então podemos usar

P 1 V 1 = n R T

Para achar a temperatura no início do processo, e como ela é constante, também vai ser a temperatura no fim.

Isolamos T:

T = P 1 V 1 n R

Temos que passar a pressão para P a para usar a fórmula

P 1 = 2   a t m × 101325   P a 1   a t m

E o volume para m 3 :

V 1 = 2   L × 10 - 3 m 3 1   L

Lembrando que temos n = 2   m o l s e que R = 8,314 J m o l . K   ,   podemos substituir os valores:

T 1 = P 1 V 1 n R

T 1 = 2   a t m   × 101325   P a 1   a t m 2   L   × 10 - 3 m 3 1   L 2   m o l 8,314 J m o l . K = 24,4   K

Como a temperatura final é a mesma:

T 1 = T 2 = 24,4   K

Processo 2-3) O gás é aquecido até V 3 = 4 L e P 3 = 2   a t m . Então a temperatura final se dá no ponto 3. Usando a mesma equação da anterior:

T 3 = P 3 V 3 n R

Novamente precisamos passar a pressão para P a e o volume para m 3 .

T 3 = 2   a t m   × 101325   P a 1   a t m 4   L   × 10 - 3 m 3 1   L 2   m o l 8,314 J m o l . K = 48,7   K

Processo 3-1) A temperatura final neste passo será a do ponto 1, que é igual a T 2 :

T 1 = T 2 = 24,4   K

Passo 3

Calma, guerreiros! Estamos finalizando. Só precisamos do calor absorvido e o trabalho realizado pelo gás durante cada etapa do ciclo.

Vamos lá?

Processo 1-2) Aqui temos uma expansão isotérmica, ou seja, o gás não sofreu alteração na temperatura. Quando não há mudança de temperatura, podemos assumir que:

∆ E i n t = 0

Se usarmos a primeira lei da termodinâmica a partir daí:

∆ E i n t = Q a b s o r v i d o + W s o b r e   o   g á s

0 = Q a b s o r v i d o + W s o b r e   o   g á s

Q a b s o r v i d o = - W s o b r e   o   g á s

Mas queremos o trabalho realizado pelo gás e não o trabalho sobre o gás. Mas relaxa, a gente pode relacionar esses dois tipos de trabalho assim:

W p e l o   g á s = - W s o b r e   o   g á s

Substituindo a primeira lei

Q a b s o r v i d o = W p e l o   g á s

Em uma expansão isotérmica o trabalho pode ser definido como:

W p e l o   g á s = n R T . ln ⁡ V 2 V 1

Substituindo:

W p e l o   g á s = 2   m o l s 8,314 J m o l . K 24,4   K . ln ⁡ 4   L 2   L = 281   J

Assim:

Q a b s o r v i d o = W p e l o   g á s = 281   J

Processo 2-3) O gás é aquecido a volume constante, se o volume não muda quer dizer que não houve trabalho, então

W p e l o   g á s = 0

Então o calor também zera? Não. Neste caso, o gás não realizou trabalho, mas aumentou sua temperatura, ou seja, houve variação da energia interna. Segundo a primeira lei:

∆ E i n t = Q a b s o r v i d o

A variação da energia pode ser calculada como:

∆ E i n t = g 2 . n R ∆ T

Neste caso, g são os graus de liberdade do gás. Para um gás monoatômico, g = 3 :

Q a b s o r v i d o = 3 2 . n R ∆ T

Substituindo os valores:

Q a b s o r v i d o = 3 2 . 2   m o l s 8,314 J m o l . K 48,7   K - 24,4   K = 608   J

Para finalizar!

Processo 3-1) Aqui temos um processo à pressão constante, então o trabalho pode ser calculado simplesmente por:

W p e l o   g á s = P . ∆ V

Como o volume diminuiu, o trabalho foi realizado sobre o gás. Por isso, nosso trabalho realizado pelo gás fica negativo. Lembrando de passar o volume para m 3 e a pressão para P a :

W p e l o   g á s = 2   a t m . 2   L - 4 L

W p e l o   g á s = 2   a t m   × 101325   P a 1   a t m - 2   L   × 10 - 3 m 3 1   L

W p e l o   g á s = - 405   J

E para o calor podemos usar essa expressão para pressão constante:

C p = Q a b s o r v i d o Δ T → Q a b s o r v i d o = C P Δ T

Sendo que para um gás ideal monoatômico

C p - C V = n R → C p = n R + C V

C V = 3 2 n R

Substituindo essa expressão na expressão logo acima:

C p = n R + 3 2 n R = 5 2 n R

E susbtituindo na expressão do calor

Q a b s o r v i d o = C P Δ T

Q a b s o r v i d o = 5 2 n R ∆ T

Substituímos os dados

Q a b s o r v i d o = 5 2 2   m o l s 8,314 J m o l . K 24,4   K - 48,7 K = - 1,01   k J

Resposta

  1. T 1 = T 2 = 24,4   K | T 2 = 48,7   K ;
  2. Q 1 → 2 = W 1 → 2 = 281   J |   Q 2 → 3 = 608   J   |   W 2 → 3 = 0   | Q 3 → 1 = - 1,01   k J   |   W 3 → 1 = 405 J
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