Enunciado

Ampliação angular. Ao deduzir a equação 34.22 para a ampliação angular de uma lupa, supusemos que o objeto estivesse no foco da lupa, de modo que a imagem virtual se formasse no infinito. Em vez disso, suponha que o objeto seja colocado em uma posição tal que a imagem virtual se forme no ponto próximo de um observador médio a uma distância de 25,0   c m , o ponto mais próximo que o observador pode focalizar um objeto. (a) onde o objeto deve ser colocado para se obter esse resultado? Fornceça a resposta em termos da distância focal f da lupa. (b) Qual é o ângulo que um objeto de altura y subtende na posição encontrada no item (a)? (c) Calcule a ampliação angular M para o objeto na posição encontrada no item (a). O ângulo θ é o mesmo que o indicado na Figura 34.51a, visto que ele se refere a uma observação do objeto sem usar a lupa. (d) Para uma lente convexa com f = + 10,0   c m , qual é o valor de M para o objeto na posição encontrada no item (a)? Quantas vezes esse valor de M é maior do que o valor encontrado quando a imagem se forma no infinito? (e) Na descrição do microscópio composto feita na Seção 34.8, afirmamos que em um instrumento projetado adequadamente, a imagem real formada pela objetiva deve se encontrar na parte interna entre o primeiro foco e a ocular, em um ponto quase sobre o foco F 1 ' da ocular. Qual é a vantagem de a imagem formada pela objetiva estar quase sobre o foco F 1 ' da oscular em relação à formação da imagem exatamente sobre o foco F 1 ' da ocular? O que ocorreria se a imagem se formasse na parte externa, em um ponto situado quase sobre o foco F 1 ' ?

Equação 34.22:

M = θ ' θ = y / f y /   25   c m = 25   c m f

Figura 34.51a:

Passo 1

(a) Nesse primeiro item, a nossa ideia é encontrar a posição do objeto que faz com que uma imagem virtual ( s ' < 0 ) se forme no ponto próximo:

s ' = - 25   c m

E o enunciado disse que a gente pode deixar em termos da distância focal f , então:

1 s + 1 s ' = 1 f

1 s - 1 25 = 1 f

Vamos tentar isolar a posição s do objeto:

1 s = 1 f + 1 25 = 25 + f 25 f

Agora é só inverter dos dois lados:

s = 25 f 25 + f

Passo 2

(b) Se um objeto está a 25   c m de distância e mede uma altura y , o ângulo vai seguir essa fórmula aqui:

tan ⁡ θ ' = y s

Usando a fórmula do passo 1:

tan ⁡ θ ' = y 25 f 25 + f

tan ⁡ θ ' = 25 + f y 25 f

Então o ângulo é:

θ ' = arctan ⁡ 25 + f y 25 f

E se esse argumento dentro do arcotangente for bem pequeno, a gente pode usar aquela velha aproximação tan ⁡ x ≈ x :

θ ' ≈ 25 + f y 25 f

Passo 3

(c) Lembra da fórmula da ampliação angular M ? É bem parecida com a ampliação transversal m com que estamos acostumados:

M = θ ' θ

Pela fórmula do item anterior:

M = 25 + f y 25 f θ

E o ângulo θ que o objeto ocupa no campo de visão é mais fácil de calcular, já que ele tem altura y e está a 25   c m de distância:

θ = y / 25

Então:

M = 25 + f y 25 f y / 25 = 25 + f f

M = 1 + 25 f

Passo 4

(d) Nesse item a gente só precisa retomar a fórmula que foi demonstrada no item (c):

M = 1 + 25 f

E substituir com f = 10   c m :

M = 1 + 25 10 = 3,50

Quando a imagem se forma no infinito, a amplificação teria que ser calculada com a fórmula de sempre:

M ∞ = 25 f = 25 10 = 2,50

Então podemos comparar os dois:

η = M ∞ M = 3,50 2,50 = 1,4

Ou seja, quando a imagem se forma no infinito a amplificação é 1,4 vezes maior.

Passo 5

(e) A vantagem de fazer isso é que a imagem real formada pela objetiva pode agir como um objeto para a ocular. E depois esse “objeto” produz uma imagem virtual e aumentada.

Se a imagem gerada pela objetiva ficasse do lado de fora, a imagem gerada pela ocular seria real e menor.

Resposta

(a) O objeto deve ser colocado na posição s = 25 f 25 + f .

(b) O ângulo é próximo de θ = 25 + f y 25 f .

(c) A ampliação angular é M = 1 + 25 f .

(d) M = 3,50 . Esse valor é 1,4 vezes o que seria quando a imagem se forma no infinito.

(c) Ver justificativa.

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