Enunciado

Um anel circular de fio com massa e m corrente constante I está em uma região com um campo magnético uniforme. Ele está inicialmente em equilíbrio e seu momento magnético está alinhado com o campo magnético. O anel sofre um pequeno deslocamento angular em torno do eixo que passa pelo seu centro e é perpendicular ao campo magnético, e é, então, liberado. Qual é o período do movimento subsequente? (Considere que o único torque exercido no anel é o devido ao campo magnético e que não há outras forças exercidas sobre ele.)

Passo 1

Fala bonit@s, como vocês estão? Espero que estejam bem.

Se liguem só estamos sendo solicitados a mostrar que, para pequenos deslocamentos do equilíbrio, o loop circular executa um movimento harmônico simples. Para mostrar que seu movimento é MHS, devemos mostrar que a malha experimenta um torque de restauração linear quando deslocada do equilíbrio. Podemos conseguir isso aplicando a segunda lei de Newton na forma rotacional e usando uma aproximação de pequeno ângulo para obter a equação diferencial para movimento harmônico simples. Uma vez que temos a equação diferencial, podemos identificar ω e expressar o período   T do movimento. Dessa forma, aplicando a segunda lei de Newton temos

- I A B s i n ( θ ) = I i n e r c i a ⋅ d ² θ / d t ²  

onde o sinal menos indica que o torque atua de forma a alinhar o ímã com o campo magnético e I i n e r c i a é o momento de inércia do loop.

Passo 2

Pois bem, devemos nos lembrar que para ângulos pequenos podemos fazer a seguinte aproximação

sin ⁡ θ ≈ θ

Sendo assim, nossa equação diferencial anterior passa a ser

- I A B ⋅ ( θ ) = I i n e r c i a ⋅ d ² θ / d t ²  

Assim, para pequenos deslocamentos do equilíbrio, vemos que a equação diferencial que descreve o movimento do loop é a equação diferencial do movimento harmônico simples. Essa equação resolvida para d 2 θ d t 2 obtemos:

d 2 θ d t 2 = - I π R 2 B m R 2 2 = - 2 I π B m = - ω 2 θ

Onde

ω = 2 π I B m

Como T = 2 π ω temos que

T = 2 π ω = 2 π 2 π I B m = 2 π m I B

Como queríamos mostrar.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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