Enunciado

Um anel estacionário de raio a está no plano y z e tem uma carga positiva uniforme Q . Uma pequena partícula com massa m e carga negativa - q está localizada no centro do anel. (a) Mostre que se x ≪ a , o campo ao longo do eixo do anel é proporcional a x . (b) Determine a força na partícula como uma função de x . (c) Mostre que, se a partícula é deslocada levemente no sentido + x , ela iniciará um movimento harmônico simples. (d) Qual é a frequência deste movimento?

Passo 1

Sabemos que o campo elétrico no eixo de um anel, a uma distância x do centro, é dado por:

E = k Q a 2 + x 2 3 / 2 x

  1. Para x ≪ a , temos que a 2 + x 2 ≈ a 2 . Logo,
  2. E = k Q a 3 x

    Assim, o campo é proporcional a x .

    Passo 2

  3. Aplicamos a relação
  4. F = q E = k q Q a 3 x

    Passo 3

  5. Note que a força sempre será orientada para o centro do anel. Sendo assim, essa é uma força restauradora e é diretamente proporcional a x . Dessa forma, temos um MHS.
  6. Passo 4

  7. Lembrando que para um MHS, F = K x , o período é dado por T = 2 π m / K . A nossa “constante elástica”, K nesse caso é k q Q / a 3 . Assim, segue que:

T = 2 π m a 3 k q Q

A frequência é:

f = 1 T = 1 2 π k q Q m a 3

Resposta

  1. k Q a 3 x
  2. k Q q a 3 x
  3. Demonstração.
  4. 1 2 π k q Q m a 3 .
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