Enunciado

Um anel de Rowland é feito de um material ferromagnético. O anel tem seção reta circular, com um raio interno de 5,0   c m e um raio externo de 6,0   c m , e uma bobina primária enrolada no anel possui 400 espiras. (a) Qual deve ser a corrente na bobina para que o módulo do campo do toroide tenha o valor B 0 = 0,20   m T ? (b) Uma bobina secundária enrolada no anel possui 50 espiras e uma resistência de 8,0   Ω . Se para esse valor de B 0 temos B M = 800   B 0 , qual é o valor da carga que atravessa a bobina secundária quando a corrente na bobina primária começa a circular?

Passo 1

A questão fala de um toroide envolto por um fio (o famoso anel de Rowland). No item (a), devemos calcular a corrente que deve passar no fio para que o campo seja B 0 = 0,20   m T . Para isso, você tem que lembrar que o campo no interior de um solenoide é

B = μ 0 N i L

Você deve estar pensando: pera aí, o toroide não é um solenoide, por que eu posso usar essa fórmula? Bom, se você parar para pensar, pegando um solenoide reto e ligando suas extremidades você ganha um solenoide fechado em formato circular: um toroide!

Neste caso, temos que

L = 2 π r m e d ,

onde r m e d é o raio médio:

r m e d = 5,00 + 6,00 2 = 5,50   c m

Isolando a corrente, temos que

i = 2 π B 0 r m e d μ 0 N

Usando B 0 = 0,20 ⋅ 10 - 3   T , N = 400 e r m e d = 5,50 ⋅ 10 - 2   m , obtemos

i = 0,14   A

Passo 2

Agora temos que calcular qual é a carga que flui através da bobina secundária quando a corrente primária começa a circular.

Se Φ é o fluxo sobre uma espira da bobina secundária, temos que, em módulo, pela lei de Faraday:

ε = R i i n d = N d Φ d t ⇒ i i n d = N R d Φ d t

Por outro lado,

i i n d = d q d t ⇒ d q d t = N R d Φ d t

Assim,

d q = N R   d Φ

Integrando o fluxo de Φ = 0 (quando não passava corrente na bobina primária) até Φ = Φ (quando se atingiu a corrente calculada no item (a)), obtemos

q = N R Φ

Passo 3

Bom, agora só falta calcular o fluxo em uma espira da bobina secundária, que será dado por

Φ = B A = B ⋅ π r 2

Note que r é o raio da seção reta circular, dado por

r = 6,00 - 5,00 2 = 0,50   c m

Mas e o campo B , quanto vale? Agora que vamos usar o fato de que o anel é ferromagnético! O campo será dado por

B = B 0 + B M ,

onde B 0 é o campo criado pela bobina primária e B M é o campo devido ao alinhamento dos spins do anel em resposta ao campo externo. Como foi dado que B M = 800   B 0 , temos que

B = 801   B 0

Assim,

q = N R ⋅ 801   B 0 ⋅ π r 2

Substituindo N = 50 e R = 8,0   Ω , temos que

q = 79 ⋅ 10 - 6   C

Note que se no lugar de um material ferromagnético nós tivéssemos usado um outro material não magnético (um pedaço de madeira, por exemplo), teríamos que

B = B 0 ≪ 801   B 0

Assim, a corrente induzida na espira secundária seria muito menor... Descobrimos assim um jeito de produzir muito mais energia por indução: é só usar um material ferromagnético!

Resposta

i = 0,14   A

q = 79 ⋅ 10 - 6   C

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