Enunciado

Um elétron com uma energia cinética K e está se movendo em uma trajetória circular cujo plano é perpendicular a um campo magnético uniforme orientado no sentido positivo do eixo z . O elétron está sujeito apenas à força exercida pelo campo. (a) Mostre que o momento dipolar magnético do elétron devido ao movimento orbital tem sentido oposto ao do campo magnético B → e seu módulo é dado por μ = K e / B . Determine (b) o módulo e (c) a direção do momento dipolar magnético de um íon positivo de energia cinética K i nas mesmas circunstâncias. (d) Um gás ionizado possui 5,3 ⋅ 10 21   e l e t r o n s / m 3 e a mesma concentração de íons. Supondo que a energia cinética média dos elétrons é 6,2 ⋅ 10 - 20   J e a energia cinética média dos íons é 7,6 ⋅ 10 - 21   J , calcule a magnetização do gás quando submetido a um campo magnético de 1,2   T .

Passo 1

Bom, imagine uma partícula com uma carga q ( q > 0 se ela tiver carga positiva e q < 0 se ela tiver carga negativa) girando num movimento circular devido a um campo magnético uniforme. A força responsável por manter a partícula num movimento circular é

F → = q   v → × B →

No caso do elétron girando, temos q = - e . Assim, como a força deve apontar “para dentro” da trajetória, o elétron deve estar girando no sentido anti-horário (visto por cima do plano x y ).

Agora vem uma pegadinha: lembre-se que o sentido da corrente é oposto ao movimento dos elétrons. Desta forma, usando o modelo de espiras para o momento magnético, vemos que a corrente percorre o sentido horário, de modo que pela regra da mão direita, o momento magnético aponta na direção negativa do eixo z , se opondo ao campo!

Passo 2

Para calcular o módulo do momento dipolar, lembre-se que ele é dado por

μ = I A = π I r 2

Mas

I = q T = q v 2 π r ⇒ μ = q v r 2

Por outro lado, o raio é dado por

r = m v q B ⇒ μ = q v 2 ⋅ m v q B = 1 B ⋅ 1 2 m v 2

Portanto,

μ = K B

Note que para o íon positivo as respostas serão as mesmas: o sentido do movimento do íon será invertido com relação ao elétron. Porém como o íon é positivo, este já será o sentido correto da corrente, de modo que ela também estará no sentido horário! O módulo de μ é calculado da mesma forma...

Passo 3

Por fim, queremos a magnetização do conjunto de elétrons e íons. Foi nos dado que a concentração deles era n = 5,3 ⋅ 10 21   p a r t í c u l a s / m 3 . Assim, como a magnetização é o momento do dipolo por unidade de volume, temos que para um número N de partículas ocupando um volume V :

M = N μ V

Mas como n = N / V , temos que

M = n μ

Assim, fazendo as contas para os elétrons e para os íons:

M e = n μ e             e                 M i o n = n μ i o n

Assim,

M = M e + M i o n = n   μ e + μ i o n

Portanto,

M = n B ( K e + K i )

Substituindo os valores:

M = 3,1 ⋅ 10 2   A / m

Resposta

M = 3,1 ⋅ 10 2   A / m

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