Enunciado

Qual é o ângulo formado entre os vetores A → e B → de cada item no exercício 3?

Vetores do exercício 3:

  1. A → = 3 i ^ - 4 j ^ e B → = - 2 i ^ + 6 j ^
  2. A → = 2 i ^ + 3 j ^ e B → = 6 i ^ - 4 j ^

Passo 1

Podemos conhecer o ângulo entre dois vetores a partir de seus módulos e do produto interno entre eles. Dos exercícios anteriores, definimos o produto interno pela seguinte relação:

< u ,   v > = u ∙ v ∙ cos ⁡ θ

Assim, como dito, se tivermos o valor do produto interno entre os vetores e os módulos de cada vetor, podemos obter o cosseno do ângulo θ entre eles, que vai nos dar o caminho a determinar θ .

Mas, como calcular o módulo do vetor a partir das componentes dele? Pela seguinte formulinha, que vem do teorema de pitágoras:

u = x 2 + y 2

Onde x e y são as componentes do vetor u → .

Passo 2

Do exercício 3, temos os seguintes valores de produto interno entre os ângulos, que já calculamos:

  1. A → ∙ B → = 3 ∙ - 2 + - 4 ∙ 6 = - 30
  2. Temos o produto interno, agora, determinamos o módulo de A → e de B → , separadamente:

    A = 3 2 + ( - 4 ) 2 = 9 + 16 =

    = 25 = 5

    B = ( - 2 ) 2 + 6 2 = 4 + 36 =

    = 40 = 2 10

    Tendo o produto interno e os módulos, vamos determinar cos ⁡ θ a partir da definição de produto interno:

    < A ,   B > = A ∙ B ∙ cos ⁡ θ

    cos ⁡ θ = - 30 5 ∙ 2 10 = - 3 10

    ∴ θ = arccos ⁡ - 3 10

    Passo 3

  3. A → ∙ B → = 2 ∙ 6 + 3 ∙ - 4 = 0

Como o produto interno é nulo, nem precisamos nos dar ao trabalho de calcular os módulos. Vamos ter a certeza de que o ângulo entre esses vetores vale 90 ° . Aplicando na definição de produto interno, comprovamos:

< A ,   B > = A ∙ B ∙ cos ⁡ θ =

0 = A ∙ B ∙ cos ⁡ θ

Como os vetores A → e B → têm dadas suas componentes não nulas (logo, não são vetores nulos), pra essa multiplicação resultar em zero, o termo cos ⁡ θ precisa valer zero. Assim:

cos ⁡ θ = 0

Logo:

∴ θ = 90 °

Resposta

  1. θ = arccos ⁡ - 3 10
  2. θ = 90 °
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A FIGURA EX11.13 é o gráfico velocidade versus tempo de um objeto de 2,0 kg que se move ao longo do eixo x. Determine o trabalho feito sobre o objeto durante cada um dos cinco intervalos AB, BC, CD, D
As duas cordas vistas na FIGURA EX11.11 são usadas para baixar em 5,0 m um piano de 255 kg do segundo andar de uma loja ao térreo. Quanto trabalho é realizado por cada uma das três forças?
As três cordas que aparecem na vista aérea da FIGURA EX11.12 são usadas para arrastar um caixote por 3,0 m sobre um piso. Quanto trabalho é realizado por cada uma das três forças?
Enquanto um pêndulo simples balança para frente e para trás, as forças que agem sobre o corpo suspenso são a força gravitacional,a tensão na corda de sustentação ea resistência do ar. Quais dessas for
Alex e John estão carregando armários idênticos em um caminhão. Alex levanta seu armário do chão diretamente para cima até a caçamba do caminhão e John desliza o armário para cima em uma rampa áspera