Enunciado

Qual é o ângulo formado entre os vetores A → e B → de cada item no exercício 4?

Vetores do exercício 4:

  1. A → = 4 i ^ + 2 j ^ e B → = - 3 i ^ - 2 j ^
  2. A → = - 4 i ^ + 2 j ^ e B → = - i ^ - 2 j ^

Passo 1

Podemos conhecer o ângulo entre dois vetores a partir de seus módulos e do produto interno entre eles. Dos exercícios anteriores, definimos o produto interno pela seguinte relação:

< u ,   v > = u ∙ v ∙ cos ⁡ θ

Assim, como dito, se tivermos o valor do produto interno entre os vetores e os módulos de cada vetor, podemos obter o cosseno do ângulo θ entre eles, que vai nos dar o caminho a determinar θ .

Mas, como calcular o módulo do vetor a partir das componentes dele? Pela seguinte formulinha, que vem do teorema de pitágoras:

u = x 2 + y 2

Onde x e y são as componentes do vetor u → .

Passo 2

Do exercício 3, temos os seguintes valores de produto interno entre os ângulos, que já calculamos:

  1. A → ∙ B → = 4 ∙ - 3 + 2 ∙ ( - 2 ) = - 16
  2. Temos o produto interno, agora, determinamos o módulo de A → e de B → , separadamente:

    A = 4 2 + 2 2 = 20 =

    = 2 5

    B = ( - 3 ) 2 + ( - 2 ) 2 = 9 + 4 =

    = 13

    Tendo o produto interno e os módulos, vamos determinar cos ⁡ θ a partir da definição de produto interno:

    < A ,   B > = A ∙ B ∙ cos ⁡ θ

    cos ⁡ θ = - 16 2 5 ∙ 13 = - 8 65

    ∴ θ = arccos ⁡ - 8 65

    Passo 3

  3. A → ∙ B → = - 4 ∙ ( - 1 ) + 2 ∙ - 2 = 0

Como o produto interno é nulo, nem precisamos nos dar ao trabalho de calcular os módulos. Vamos ter a certeza de que o ângulo entre esses vetores vale 90 ° . Aplicando na definição de produto interno, comprovamos:

< A ,   B > = A ∙ B ∙ cos ⁡ θ =

0 = A ∙ B ∙ cos ⁡ θ

Como os vetores A → e B → têm dadas suas componentes não nulas (logo, não são vetores nulos), pra essa multiplicação resultar em zero, o termo cos ⁡ θ precisa valer zero. Assim:

cos ⁡ θ = 0

Logo:

∴ θ = 90 °

Resposta

  1. θ = arccos ⁡ - 8 65
  2. θ = 90 °
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma arqueira puxa a corda de seu arco para trás 0,400m exercendo uma força que aumenta uniformemente de z e r o a 230N . Qual é a constante elástica equivalente do arco?Quanto trabalho a arqueira real
Em 1990, Walter Arfeuille, da Bélgica, levantou um corpo de 281,5k g por uma distância de 17,1c m usando apenas os dentes. Quanto trabalho foi realizado sobre o corpo por Arfeuille nesse levantamento
Um bloco de massa m=2,50k g é empurrado por uma distância d=2,20m ao longo de uma mesa horizontal sem atrito por uma força aplicada constante de módulo F=16,0N direcionada a um ângulo θ=25,0 ° abaixo
Um trabalhador empurrando uma caixa de madeira de 35,0k g a uma velocidade escalar constante por 12,0m ao longo de um piso de madeira realiza 350J de trabalho aplicando uma força horizontal constante
Um corpo se move no plano x y na Figura P6.42 e está sujeito a uma força de atrito de 3,00N , sempre agindo na direção oposta à velocidade do corpo. Calcule o trabalho que deve realizar para deslizar