Enunciado

APLICACAO EM ENGENHARIA Um metodo para determinar a compressibilidade de um material dieletrico usa um circuito LC com um capacitor de placas paralelas.O dieletricoinserido entre as placas e a variacao na frequencia de ressonancia edeterminada enquanto as placas do capacitor estao sujeitas a uma tensao compres- siva.Neste arranjo,a frequencia de ressonanciae120 MHz quando um dieletrico de espessura 0,100 cm e constante dieletricak=6,80 colocado entre as placas.Sob uma tensao compressiva de 800 atm,a frequencia de ressonancia diminui para 116 MHz.Determine omodulo de Young para o material dieletrico.(Considere que a constante dieletrica nao varie com a pressao.)

Passo 1

Oi oi gente, como vocês estão?

Vamos fazer uma questão passo a passo?

Vamos! Vem comigo.

Podemos usar a definição da capacitância de um capacitor cheio de dielétrico e a expressão para a frequência de ressonância de um circuito LC para derivar uma expressão para a mudança fracionária na espessura do dielétrico em termos da frequência de ressonância e da frequência do circuito quando o dielétrico está sob compressão. Podemos então usar esta expressão para Δ t / t para calcular o valor do módulo de Young para o material dielétrico

Use sua definição para expressar o módulo de Young do material dielétrico:

Y =  tensão   deformação  = Δ P Δ t / t                         ( 1 )

Sendo t a espessura inicial do dielétrico, expresse a capacitância inicial do capacitor:

C 0 = κ ∈ 0 A t

Expresse a capacitância do capacitor quando ele estiver sob compressão:

C c = κ ∈ 0 A t - Δ t

Passo 2

Expresse a frequência de ressonância do capacitor antes que o dielétrico seja comprimido:

ω 0 = 1 C 0 L = 1 κ ϵ 0 A L t

Quando o dielétrico é comprimido:

ω c = 1 C c L = 1 κ ∈ 0 A L t - Δ t

Expresse a proporção de ω c para ω 0 e simplifique para obter:

ω c ω 0 = κ ϵ 0 A L t κ ∈ 0 A L t - Δ t = 1 - Δ t t

Expanda o radical binomialmente para obter:

ω c ω 0 = 1 - Δ t t 1 2 ≈ 1 - Δ t 2 t   p a r a   Δ t < < t

Passo 3

Resolva para Δ t / t :

Δ t t = 2 1 - ω c ω 0

Substitua na equação (1) para obter:

Y = Δ P 2 1 - ω c ω 0

Substitua os valores numéricos e avalie Y:

Y = 800 a t m 101.325 k P a a t m 2 1 - 116 M H z 120 M H z = 1.22 × 10 9 N / m 2

Resposta

1.22 × 10 9 N / m 2

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