Lista de Exercícios Resolvidos de Fasores e Circuitos RLC

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No circuito R L C abaixo, a corrente é dada por i t = I sen ⁡ ω t - ϕ e a fonte de f e m é ε = ε m sen ⁡ ω t . A reatância capacitiva deste circuito é X C = 100 3   Ω .

Dados: I = 2 3   A , ε m = 400 3   V , R = 100   Ω e ω = 200   r a d / s , calcule:

a ) A impedância do circuito;

b ) O valor da indutância;

c ) A constante de fase ϕ ;

d ) A potência média dissipada nos resistor;

e ) A frequência da fonte para a qual a potência média dissipada em R será máxima;

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Um gerador AC produz 10   V (rms) a uma frequência de 400   r a d / s . Ele é ligado em série a um resistor com R = 17,3   Ω e um indutor com L = 0,025   H . A corrente rms é:

(a) 0,5   A e adiantada de 30 o em relação à fem.

(b) 0,58   A e atrasada de 30 o em relação à fem.

(c) 0,5   A e atrasada de 30 o em relação à fem.

(d) 0,71   A e atrasada de 60 o em relação à fem.

(e) 0,58   A e adiantada de 90 o em relação à fem.

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Um circuito de corrente alternada é constituído de uma indutância ( L ) de 10 m H em série com uma resistência ( R ) de 3,77 Ω alimentados por um gerador alternado de 141   V   ( ε r m s ) com frequência f de 60 H z .

  1. Qual o fator de potência do circuito?
  2. Qual deve ser a capacitância de um capacitor que, colocado em série no circuito, tornaria este fator de potência unitário?
  3. Qual seria, agora, o valor da corrente I r m s com a introdução deste capacitor?
  4. Quais seriam as expressões das tensões em função do tempo no capacitor e no indutor?

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No circuito R L C abaixo, a corrente é dada por i t = I sen ⁡ ω t - ϕ e a fonte de f e m é ε = ε m sen ⁡ ω t . A reatância capacitiva deste circuito é X C = 100 3   Ω .

Dados: I = 2 3   A , ε m = 400 3   V , R = 100   Ω e ω = 200   r a d / s , calcule:

a ) A impedância do circuito;

b ) O valor da indutância;

c ) A constante de fase ϕ ;

d ) A potência média dissipada nos resistor;

e ) A frequência da fonte para a qual a potência média dissipada em R será máxima;

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No circuito de corrente alternada abaixo sabe-se que o valor quadrático médio da diferença de potencial V D E q m = 1   V . Além disso, sabe-se que a amplitude da d.d.p entre os pontos A e B é dada por: V A B M = 2 . 2 .

São conhecidos também os valores dos seguintes componentes:

R 1 = 10   Ω

L = 1   m H

ε t = 3 . sen ⁡ ( ω t )

ω = 2000   r a d / s

a ) Considerando o diagrama de fasores do circuito e sabendo que ϕ = π / 4 escreva a expressão de V A B ( t ) .

b ) Determine o valor da capacitância C .

c ) Determine o valor do resistor R 2 .

d ) Pelo gráfico dos fasores o circuito não está em ressonância. Para que isso aconteça é preciso aumentar ou diminuir o valor de ω ? Justifique as suas afirmações.

e ) Uma vez estabelecida a ressonância no circuito, qual serão os novos valores das amplitudes de V A B e V D E ?

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O circuito R L C em série mostrado na Figura 1 é alimentado pela fonte de corrente alternada ε t = ε M sen ⁡ ω t onde ε M = 100   V , ω = 10   k r a d / s , i t = I M sen ⁡ ω t - ϕ , R = 10   Ω , L = 1   m H e C = 5   μ F .

a ) Determine os valores de I M e ϕ , assim como dos valores máximos das tensões no resistor, indutor e capacitor.

b ) Com base nestes valores, represente o diagrama fasorial para o circuito, indicado se ele é indutivo ou capacitivo.

Em seguida, suponha que a mesma fonte ε t = ε M sen ⁡ ω t , onde ε M = 100   V e i t = I M sen ⁡ ω t - φ , é conectada a um outro circuito R L C série com R , L , C fixos mas desconhecidos. Quando ω = ω 1 = 5000   r a d / s , medem-se I M = 1,0   A e ϕ = 0 ° . Quando ω = ω 2 = 10000   r a d / s , medem-se I M = 0,7   A e ϕ = 45 ° .

c ) Com base nos dados fornecidos imediatamente acima determine os valores de R , L e C .

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Este circuito R L C de corrente alternada em série, com frequência angular ω = 2 π 10 3   r a d / s , descrito pelo gráfico de fasores abaixo.

a ) Determine a frequência de ressonância do circuito.

b ) Qual é a diferença de fase entre a corrente e a voltagem na fonte?

c ) Determine a impedância do circuito.

d ) Esboce o gráfico de fasores de todas as voltagens e da corrente para quando o sistema entra em ressonância.

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Considere o circuito abaixo. Um resistor R , um capacitor C e um indutor L são ligados em paralelo a uma fonte de tensão alternada. Qual(is) das seguintes afirmações é(são) correta(s)?

I. A soma das correntes instantâneas em cada elemento deve ser igual à corrente instantânea fornecida pela fonte.

II. A soma das voltagens instantâneas através de cada elemento deve ser igual à voltagem da fonte;

III. A voltagem instantânea através de C está defasada de 90 o em relação à voltagem através de R .

IV. A voltagem instantânea através de C está defasada de 180 o em relação à voltagem através de L .

V. Toda a energia é dissipada pelo resistor.

(a) somente II, IV e V são corretas.

(b) somente II e V são corretas.

(c) somente I, III e V são corretas.

(d) somente I, IV e V são corretas.

(e) somente I e V são corretas.

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Um potenciômetro (dimmer) é um dispositivo que permite variar a intensidade luminosa de uma lâmpada. Estes dispositivos são compostos por uma bobina de indutância L variável em série com uma lâmpada(Figura 1 ).

O circuito é alimentado por um gerador alternado com uma f e m eficaz ε e f f = 100   V e uma frequência angular ω = 50   r a d / s . Considere que a lâmpada utilizada é de 1000   W de potência e que a sua resistência elétrica seja independente da temperatura.

a ) Calcule qual deve ser o valor mínimo da indutância L para que a potencia média dissipada na lâmpada seja máxima ( 1000   W ) .

b ) Calcule qual deve ser o valor máximo da indutância L para que a potencia média dissipada pela lâmpada seja 200   W .

c ) Se no lugar do gerador de f e m alternada fosse inserida uma bateria em corrente continua ε 0 , qual deveria ser o valor da tensão ε 0 para que, decorrido um tempo muito longo, a potência dissipada na lâmpada fosse de 1000   W ?

Considere novamente o circuito da Figura 1 . Agora a lâmpada é substituída por um resistor R do mesmo valor e no circuito é inserido em série um capacitor C = 10   m F .

d ) Considerando que a indutância L possui o valor máximo calculado no item b desenhe o diagrama de fasores do circuito. A corrente que passa no circuito está adiantada ou atrasada em relação à tensão do gerador?

e ) Mudando o valor da indutância L entre os limites calculados nos itens a e b é possível fazer com que o circuito entre em ressonância? Em caso de resposta negativa justifique. Em caso de resposta afirmativa calcule o valor de L para que isso aconteça.

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Quando um dado indutor é conectado a uma fonte de f e m , que varia senoidalmente com uma amplitude constante e uma frequência de 60 H z , o valor r m s da corrente é 3 A . Qual o valor r m s da corrente se a frequência da fonte for dobrada?

  1. 3,0   A
  2. 4,24   A
  3. 6,0   A
  4. 1,5   A
  5. 12,0   A

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Considere que no circuito abaixo temos R = 15   Ω , C = 62,5   μ F e L = 50   m H . Sabendo que a fonte opera com frequência angular de 400   r a d / s e com uma tensão eficaz (valor quadrático médio) de 75   V , determine:

a ) O valor eficaz (quadrático médio) da corrente no circuito.

b ) As tensões eficazes V a b , V b c , V c d , V b d e V a d . (Faça o diagrama de fasores para ajudar no raciocínio).

c ) A potência média fornecida pela fonte e a potência média dissipada em cada elemento do circuito.

d ) O ângulo de fase entre a tensão da fonte e a corrente se a frequência angular mudar para 565,7   r a d / s . Neste caso quem está adiantado, a corrente ou a tensão da fonte?

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Um potenciômetro (dimmer) é um dispositivo que permite variar a intensidade luminosa de uma lâmpada. Estes dispositivos são compostos por uma bobina de indutância L variável em série com uma lâmpada(Figura 1 ).

O circuito é alimentado por um gerador alternado com uma f e m eficaz ε e f f = 100   V e uma frequência angular ω = 50   r a d / s . Considere que a lâmpada utilizada é de 1000   W de potência e que a sua resistência elétrica seja independente da temperatura.

a ) Calcule qual deve ser o valor mínimo da indutância L para que a potencia média dissipada na lâmpada seja máxima ( 1000   W ) .

b ) Calcule qual deve ser o valor máximo da indutância L para que a potencia média dissipada pela lâmpada seja 200   W .

c ) Se no lugar do gerador de f e m alternada fosse inserida uma bateria em corrente continua ε 0 , qual deveria ser o valor da tensão ε 0 para que, decorrido um tempo muito longo, a potência dissipada na lâmpada fosse de 1000   W ?

Considere novamente o circuito da Figura 1 . Agora a lâmpada é substituída por um resistor R do mesmo valor e no circuito é inserido em série um capacitor C = 10   m F .

d ) Considerando que a indutância L possui o valor máximo calculado no item b desenhe o diagrama de fasores do circuito. A corrente que passa no circuito está adiantada ou atrasada em relação à tensão do gerador?

e ) Mudando o valor da indutância L entre os limites calculados nos itens a e b é possível fazer com que o circuito entre em ressonância? Em caso de resposta negativa justifique. Em caso de resposta afirmativa calcule o valor de L para que isso aconteça.

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Seja o circuito RLC em série mostrado na figura.

ε t = ε M sen ⁡ ω . t

Considerando uma situação geral, com ε M e ω qualquer, marque verdadeiro V ou falso F nas seguintes afirmações abaixo:

a ) ( ) A energia armazenada no circuito oscila entre L e C .

b ) ( ) A fonte não fornece potência ao circuito: a potência dissipada em R é compensada pela variação da energia armazenada em L e C .

c ) ( ) A potência só é dissipada em R .

d ) ( ) A corrente que passa no indutor L está adiantada de π / 2 e relação à d.d.p no mesmo indutor L ( V L ).

e ) ( ) A tensão no capacitor V C está adiantada de π / 2   em relação à tensão no resistor V R .

f ) No caso das afirmações falsas explique, justificando, o porquê da sua afirmação.

Num dado instante de tempo, o diagrama de fasores do circuito é o seguinte:

g ) Utilizando apenas as informações do diagrama, calcule a tensão no resistor, V R M .

h ) Para que o circuito entre em ressonância, devemos aumentar ou diminuir a frequência do gerador?

i ) Existe outro método (sem modificar ω ) que permita atingir a ressonância do circuito? Qual?

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Um circuito desconhecido, composto somente de 2 elementos escolhidos entre R , L e C , é alimentado por um gerador de corrente alternada cuja fem e dada por ε t = ε M . sen ⁡ ω t , onde ε M = 10   V e ω = 10   r a d / s . Realizando uma medida de corrente, se encontra:

i t = I M . sen ⁡ ω t + π 6

Onde I M = 1   A .

a ) Após t = 0   s , em que instante de tempo t 1 a fem do gerador atinge seu valor máximo pela primeira vez? Em que instante de tempo t 2 a corrente atinge o seu valor máximo pela primeira vez? Qual é a diferença de fase entre a tensão do gerador e a corrente?

b ) Desenhe o gráfico dos fasores relativo a este circuito.

c ) Calcule o fator de potencia do circuito. Determine a potencia média P fornecida ao circuito.

d ) Com os dados à sua disposição, você poderia dizer se no circuito está presente um resistor? Em caso de resposta afirmativa, calcule o seu valor. Em caso de resposta negativa, justifique a sua afirmação.

e ) O circuito tem um comportamento indutivo ou capacitivo? Justifique o seu raciocínio.

f ) Em função da resposta dada no item anterior, calcule o valor de C ou L

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No circuito de corrente alternada abaixo sabe-se que o valor quadrático médio da diferença de potencial V D E q m = 1   V . Além disso, sabe-se que a amplitude da d.d.p entre os pontos A e B é dada por: V A B M = 2 . 2 .

São conhecidos também os valores dos seguintes componentes:

R 1 = 10   Ω

L = 1   m H

ε t = 3 . sen ⁡ ( ω t )

ω = 2000   r a d / s

a ) Considerando o diagrama de fasores do circuito e sabendo que ϕ = π / 4 escreva a expressão de V A B ( t ) .

b ) Determine o valor da capacitância C .

c ) Determine o valor do resistor R 2 .

d ) Pelo gráfico dos fasores o circuito não está em ressonância. Para que isso aconteça é preciso aumentar ou diminuir o valor de ω ? Justifique as suas afirmações.

e ) Uma vez estabelecida a ressonância no circuito, qual serão os novos valores das amplitudes de V A B e V D E ?

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O fluxo magnético através de uma espira circular de diâmetro d = 2 2   c m e resistência R = 10   Ω , obedece à seguinte equação:

ϕ B t = α t 3 + β t 2 + 1 γ

Sabendo que:

  • Em t = 0   s , ϕ B = 2   W b ;
  • Em t = 1   s , ϕ B = 10   W b e d B / d t = 3   T / s ;
  • a ) Encontre os valores de α ,   β e γ com as unidades corretas e escreva a expressão final para o fluxo magnético (considere π = 3 e ln ⁡ 0,5 = 0,7 ).

    Suponha agora uma nova situação em que o campo magnético através da mesma espira obedeça à seguinte equação: B t = δ e - n t + 1 / 2 , onde δ e n são constantes a determinar.

    b ) Sabendo que nesta nova situação B = 2   m T em t = 0   s , e B = 1   m T em t = 1   s , encontre os valores das constantes δ e n com as respectivas unidades e escreva a expressão final para o campo magnético B e para f e m induzida.

    Passo 1

    a ) Encontre os valores de α ,   β e γ com as unidades corretas e escreva a expressão final para o fluxo magnético (considere π = 3 e ln ⁡ 0,5 = 0,7 ).

    Vamos utilizar as 3 condições que o problema nos deu para encontrar os valores de α ,   β e γ , ok?

  • Em t = 0   s , ϕ B = 2   W b ;
  • ϕ B 0 = 2   W b

    1 γ = 2   W b

    γ = 0,5   W b - 1

  • Em t = 1   s , ϕ B = 10   W b ;
  • ϕ B 1 = 10   W b

    α + β + 1 0,5 = 10 → α + β + 2 = 10

    α + β = 8

  • Em t = 1   s , d B / d t = 3   T / s ;
  • ϕ B t = α t 3 + β t 2 + 1 0,5

    ϕ B t = α t 3 + β t 2 + 2

    Por definição, como a área da espira é constante, podemos dizer que ϕ B t = B t . A , logo:

    B t . A = α t 3 + β t 2 + 2

    B t = 1 A α t 3 + β t 2 + 2

    Derivando o campo magnético em função do tempo, teremos:

    d B t d t = 1 A 3 α t 2 + 2 β t

    Onde:

    d B 1 d t = 3   T / s

    A = π d 2 4 = 3 × 2 2 × 10 - 2 2 4 = 6 × 10 - 4 m 2

    Portanto:

    3 = 1 6 × 10 - 4 3 α + 2 β