Enunciado

Uma arma é colocada na base de uma colina, cuja inclinação com a horizontal é ϕ . Se a arma está inclinada em um ângulo α com a horizontal, e a velocidade de disparo é v 0 , calcule a distância, medida ao longo da colina, da arma ao ponto de queda do projétil.

Passo 1

Esse é um problema sobre lançamento oblíquo. O primeiro passo é fazer um desenho da situação:

O projétil é lançado da base da colina (plano inclinado) com uma velocidade v 0 e fazendo um ângulo α com o eixo x . A inclinação do plano inclinado é ϕ .

O segredo para resolver esse problema é escrever a posição y do projétil como função de x ao longo da trajetória parabólica. Para isso, começamos decompondo o vetor velocidade inicial:

v 0 x = v 0 cos ⁡ α               e           v 0 y = v 0   s e n   α

Passo 2

Na direção vertical, temos um movimento uniformemente acelerado com aceleração g para baixo:

y = y 0 + v 0 y   t + a t 2 2

Como y 0 = 0 , v 0 y = v 0   s e n   α e a = - g , temos que

y = v 0   s e n   α   t - g t 2 2

Já na horizontal, temos um movimento uniforme:

x = x 0 + v x t

Como x 0 = 0 :

x = v 0 cos ⁡ α t → t = x v 0 cos ⁡ α

Daí, substituímos t na equação para y :

y = v 0   s e n   α ⋅ x v 0 cos ⁡ α - g 2 ⋅ x 2 v 0 2 cos 2 ⁡ α

Portanto,

y = tan ⁡ α   x - g 2 v 0 2 cos 2 ⁡ α x 2

A seguir representamos essa trajetória parabólica:

Passo 3

Agora só falta achar a distância D ao longo do plano inclinado. Para isso, vamos procurar o ponto x ,   y em que o projétil atinge o plano inclinado, cuja equação de reta é

y = tan ⁡ ϕ x

Daí, basta igualar a equação da parábola com a equação da reta:

tan ⁡ ϕ   x = tan ⁡ α   x - g 2 v 0 2 cos 2 ⁡ α x 2

Simplificando x de todos os termos, achamos

g 2 v 0 2 cos 2 ⁡ α x = tan ⁡ α - tan ⁡ ϕ

Portanto,

x = 2 v 0 2 cos 2 ⁡ α g tan ⁡ α - tan ⁡ ϕ

A distância D é

D = x 2 + y 2

Como y = x tan ⁡ ϕ , temos que

D = x 2 + x 2 tan 2 ⁡ ϕ = x 1 + tan 2 ⁡ ϕ

Substituindo a expressão para x :

D = 2 v 0 2 cos 2 ⁡ α g tan ⁡ α - tan ⁡ ϕ 1 + tan 2 ⁡ ϕ

Resposta

D = 2 v 0 2 cos 2 ⁡ α g tan ⁡ α - tan ⁡ ϕ 1 + tan 2 ⁡ ϕ

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