Enunciado

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Calcule o raio de curvatura no ponto mais alto da trajetória de um projétil cuja velocidade de disparo forma um ângulo α com a horizontal.

Passo 1

O movimento descrito pelo projétil é parabólico com equação

y = x tan ⁡ α - g 2   v 0 2 cos 2 ⁡ α x 2

Essa equação foi deduzida no livro e nos últimos problemas resolvidos desse capítulo, vai lá dar uma olhada se você quiser entender de onde ele vem...

Sabemos também que o vetor aceleração sempre pode ser decomposto em uma componente normal e outra tangencial:

a → = d v d t u ^ T + v 2 ρ u ^ N

Nessa última equação, v = v x 2 + v y 2 é o módulo do vetor velocidade.

Passo 2

No ponto mais alto da trajetória, a única componente da aceleração é a normal, de modo que podemos igualar v 2 / ρ com a aceleração da gravidade:

g = v 2 ρ

Portanto, o raio de curvatura ρ é

ρ = v 2 g

Nesse ponto mais alto da trajetória, temos que v y = 0 , de modo que

v = v x = v 0 cos ⁡ α

Desta forma,

ρ = v 0 2 cos 2 ⁡ α g

Esse é o raio de curvatura pedido no problema!

Resposta

ρ = v 0 2 cos 2 ⁡ α g

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