Enunciado

Os astrônomos descobriram um sistema estelar binário com período de translação de 90 dias. O sistema consiste de duas estrelas de mesma massa, duas vezes maior que a do Sol, que giram como um haltere em torno do centro de massa, localizado no ponto médio entre elas. Qual é a distância entre as duas estrelas?

Dados:

Massa do sol: 1,989 × 10 30   k g

Constante gravitacional universal: G = 6,67 × 10 - 11   N m 2 k g 2

Passo 1

Uma ilustração pode ajudar a gente a entender melhor a situação:

Aqui, 2 r é o diâmetro da órbita, e a distância entre as duas estrelas. Podemos considerar isso já que o exercício diz que elas se deslocam na órbita como halteres ao redor do centro da órbita. Assim, fica cada uma em uma extremidade do diâmetro.

Como agora determinar o valor de r , pra começar?

Passo 2

Uma estrela vai atuar com força gravitacional sobre a outra. Sendo ambas idênticas, o que fazemos pra uma vale de forma igual pra outra, certo?

Como já visto em exercícios anteriores, a força gravitacional age como força centrípeta (aponta pro centro) e causa o movimento de translação dessas estrelas. O desenho mostra isso com o vetorzinho verde:

Sendo F → g equivalente à força centrípeta do movimento de translação, podemos escrever:

F g = G ∙ M ∙ M r 2 = F c p = M ∙ v 2 r

Onde M é a massa de cada uma das estrelas em órbita, e M vale a massa do sol.

Igualamos as expressões, simplificamos o que for possível e teremos:

G ∙ M ∙ M r 2 = M ∙ v 2 r

v 2 = G ∙ M r

v = G ∙ M r

Assim, determinamos uma expressão pra velocidade orbital dessas estrelas. Lembre-se, todo cálculo que estamos fazendo vale pra cada estrela, individualmente, pois são idênticas!

Passo 3

Agora você vai ver que, com essa expressão pra velocidade orbital v , conseguimos uma expressão pro período orbital T , que já conhecemos o valor.

Lá da cinemática, você sabe que a velocidade de um corpo nada mais é que a distância d que ele percorre sobre o tempo t , levado pra percorrê-la, certo? Assim:

v = d t

Pro nosso caso, de uma volta completa pela órbita circular, essa distância equivale ao comprimento da circunferência da órbita: d = 2 π r ; o tempo pra isso acontecer vale T (período), assim, t = T = 90 dias.

Temos assim, a seguinte expressão pra velocidade orbital:

v = 2 π r T = G ∙ M r

Temos todos os dados que precisamos, e r , o valor do raio orbital, vai ser a nossa incógnita. Pra isolá-lo, elevamos ambos os lados ao quadrado pra eliminar a raiz:

2 π r T 2 = G ∙ M r 2

4 π 2 r 2 T 2 = G ∙ M r

Multiplicamos tudo cruzado de forma a isolar r e vamos chegar em:

r 3 = T 2 ∙ G ∙ M 4 π 2

Tiramos a raiz cúbica e teremos:

r = T 2 ∙ G ∙ M 4 π 2 3

Passo 4

Agora só aplicamos os valores que já conhecemos e poderemos determinar r !

Um pequeno detalhe, antes de seguir, é que o período T está dado em dias. Precisamos converter isso pra segundos, pra que tudo fique nas unidades do sistema internacional.

Tendo 1 dia 86400 segundos, 90 dias terão:

90   d i a s ∙ 86400   s d i a = 7,776 × 10 6   s

Passo 5

Com isso, teremos:

r = 7,776 × 10 6 2 ∙ 6,67 × 10 - 11 ∙ 1,989 × 10 30 4 ∙ 3,14 2 3

Jogamos tudo isso na calculadora e, no final, vamos ter:

r ≅ 5,88 × 10 10   m

Como queremos a distância entre as estrelas, que vale 2 r , o diâmetro da órbita, temos:

∴ 2 r = 2 ∙ 5,88 × 10 10 = 1,18 × 10 11   m

Resposta

2 r = 1,18 × 10 11   m

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