Enunciado

Astrônomos observaram um objeto pequeno com massa elevada no centro da nossa galáxia, a Via Láctea (veja a Seção 12.8). Giram em tomo desse objeto material distribuídos ao longo de um anel; o diâmetro desse anel é aproximadamente igual a 15 anos-luz e sua velocidade orbital é aproximadamente igual a 200 km/s. (a) Determine a massa desse objeto no centro da Via Láctea. Dê a resposta em quilogramas e em massas solares (a massa solar é uma unidade de massa igual à massa do Sol). (b) Observações de estrelas, bem como teorias das estruturas estelares, sugerem que é impossível que uma única estrela possua massa maior que 50 massas solares. Esse objeto com massa elevada seria constituído por uma única estrela? (c) Muitos astrônomos acreditam que esse objeto no centro da Via Láctea seja um buraco negro. Caso seja, qual deveria ser seu raio de Schwarzschild? Um buraco negro desse tamanho caberia no interior da órbita da Terra em torno do Sol?

Passo 1

Faaaaala meu povo, bora iniciar mais um livrinho com a gente!

Letra a)

Bem galera, para resolver este item temos que usar as leis de Kepler, a órbita elíptica do objeto ao redor do buraco negro tem uma velocidade que é dada pela equação (12.10) do nosso livro na forma:

v = G M r

Isolando M na equação. Temos:

M = v 2 r G

Nós recebemos r em anos-luz, então vamos convertê-lo em metros:

r = 7,5   a n o s   l u z   → 7,5 × 9,461 × 10 15   m = 7,1 × 10 16   m

Com isso, basta substituir os valores na equação, teremos então:

M = 2 × 10 5   m / s 2 ( 7,1 × 10 16   m ) ( 6,67 × 10 - 11   N m 2 / k g 2 )

M = 4 , 3 × 10 37   k g  

A massa do Sol é M s o l = 1,99 × 10 30   k g , então em termos da massa do Sol, a massa da estrela é:

M = 4,3 × 10 37   k g M s o l   1,99 × 10 30

M = 2 , 1 × 10 7   M s o l

Passo 2

Letra b)

Bem galerinha, conforme mostrado em nosso resultado da letra (a), a massa da estrela é:

2,1 × 10 7   M s o l

Logo, a resposta é não, não é uma estrela comum.

Passo 3

Letra c)

Para uma massa esférica M com um raio menor que seu raio de Schwarzschild, é considerado um buraco negro que atrai tudo até a luz e impede que ela escape dentro desse raio. A equação (12.30) do nosso livro mostra o raio do horizonte de eventos em termos de sua massa M na forma:

R s = 2 G M c 2

Onde R s é o raio do horizonte de eventos, c é a velocidade da luz e G é a constante gravitacional e é igual a 6,673 × 10 - 11   N m 2 / k g 2 . Nosso objetivo é encontrar R s , então colocamos os valores para G , M e c na equação. Teremos:​

R s = 2 (   6,67 × 10 - 11   N m 2 / k g 2 ) ( 4 , 3 × 10 3 7   k g ) 3 × 10 8   m / s 2

R s = 6 , 37 × 10 10   m

O raio da órbita da Terra ao redor do Sol é 1,5 × 10 11   metros e é maior que R s . Assim, o buraco negro poderia caber dentro da órbita da Terra ao redor do sol.

E assim a gente finaliza mais uma questão 😊. Tudo certinho? Te vejo na próximaaaaa!

Resposta

Letra a)

2,1 × 10 7   M s o l

Letra b)

v e r   p a s s o   a   p a s s o

Letra c)

R s = 6,37 × 10 10   m

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