Enunciado

Um átomo de hidrogênio no estado n = 2 ,   l = 1 ,   m l = - 1 emite um fóton quando decai para o estado fundamental n = 1 ,   l = ,   m l = 0 .

a) Na ausência de um campo magnético, qual é o comprimento de onda desse fóton?

b) Quando o átomo está na presença de um campo magnético orientado ao longo do eixo O z com módulo igual a 2,20   T , qual é o deslocamento do comprimento de oda em relação ao valor na ausência do campo magnético? O efeito do campo magnético faz o comprimento de onda aumentar ou diminuir? Suponha que os efeitos de spin possam ser desprezados. (Sugestão: use o resultado do Problema 39.56c).

Passo 1

Quando temos a emissão de um fóton, o que acaba gerando uma mudança no estado de energia, podemos calcular a diferença de energia a partir da equação:

∆ E = h c / λ

Já a energia em um determinado estado pode ser calculada pela equação:

E n = - 13,6   e V n 2

Passo 2

a) Para calcular o comprimento de onda, podemos isola-lo na equação da variação de energia:

λ = h c ∆ E = h c E 2 - E 1

Onde E 2 é:

E 2 = - 13,6   e V n 2 = - 13,6   e V 4

E E 1 é:

E 1 = - 13,6   e V n 2 = - 13,6   e V 1

Logo ∆ E é:

∆ E = E 2 - E 1 = - 13,6   e V 4 - - 13,6   e V = 10,2   e V = 1,634 ⋅ 10 - 18 J

Porntanto o comprimento de onda do fóton emitido na mudança de estado é:

λ = 6,626 ⋅ 10 - 34 J s 2,998 ⋅ 10 8   m / s 1,634 ⋅ 10 - 18 J = 122   n m

Passo 3

b) Podemos começar calculando ∆ E dado pela energia de interação magnética e relacionar com a mudança do comprimento de onda ∆ λ .

A mudança de um nível devido a interação com um campo magnético na direção z é:

U = m l u B B

O estado fundamental possui m l = 0 , portanto não é afetado pelo campo magnético. O estado n = 2 tem m l = - 1 , portanto sua energia é deslocada para baixo uma quantidade:

U = m l u B B = - 1 9,274 ⋅ 10 - 24 A m 2 2,2   T

U = - 2,040 ⋅ 10 - 23   J 1   e V   / 1,062 ⋅ 10 - 19   J = 1,273 ⋅ 10 - 4   e V

Observe que a mudança de energia devido ao campo magnético é uma fração muito pequena da energia de transição de 10,2 eV.

Então podemos utilizar a Sugestão proposta pelo enunciado, dela temos uma relação para ∆ E e ∆ λ que é dada por:

∆ λ = λ   ∆ E E = 122   n m   1,273 ⋅ 10 - 4     e V 10,2   e V = 1,52   p m

O nível superior na transição é reduzido em energia, portanto a energia de transição é diminuída. Um ∆ E menor significa um λ maior; o campo magnético aumenta o comprimento de onda. O deslocamento fracionário no comprimento de onda, Δλ / λ é pequeno, apenas 1,2 ⋅ 10 - 5 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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