Um átomo de hidrogênio é excitado de um estado com n = 1 até um com n = 4 . (a) Calcule a energia que deve ser absorvida pelo átomo. (b) Calcule e trace sobre um diagrama de níveis de energia as energias dos diferentes fótons que serão emitidos se o átomo voltar a seu estado n = 1 . (c) Calcule a velocidade de recuo do átomo de hidrogênio, ao fazer uma transição de n = 4 a n = 1 em um único salto quântico, supondo que ele está inicialmente em repouso.

Passo 1

Fala galerinha, beleza?

A energia, em e V , do n -ésimo estado do átomo de hidrogênio é dada por

E n = - 13,6 n 2   e V

Assim, para n = 1 , temos

E 1 = - 13,6 1 2   e V = - 13,6   e V

Para n = 4 :

E 4 = - 13,6 4 2   e V = - 0,85   e V

Portanto, a energia que deve ser absorvida pelo átomo é

E a b s o r v i d a = E 4 - E 1 = 13,6 - 0,85 → E a b s o r v i d a = 12,75   e V

Passo 2

A seguir reproduzimos todas as transições entre n = 4 e n = 1 passando por todas os níveis intermediários possíveis:

Passo 3

Vamos para o item (c)!

Vimos no item (a) que a energia liberada devido a transição eletrônica de n = 4 até n = 1 é

E = 12,75   e V

Essa energia vai ser dividida entre o fóton e o recuo do átomo. Portanto,

K r e c u o + E f o t o n = E

Substituindo as expressões das energias, obtemos

p a t o m o 2 2 M + p f o t o n c = E

Agora vem a parte chave: pela conservação do momento, devemos ter

0 → = p → a t o m o + p → f o t o n → p → a t o m o = - p → f o t o n

Em módulo, temos

p = p a t o m o = p f o t o n

Assim,

p 2 2 M + p c = E → p 2 + 2 M c   p - 2 E M = 0

Precisamos resolver essa equação quadrática:

p = - 2 M c ± 4 M 2 c 2 + 8 E M 2

Como p > 0 , devemos considerar apenas o sinal positivo da raiz:

p = - M c + M M c 2 + 2 E

Usando M c 2 = 938   M e V e E = 12,75   e V , podemos usar a aproximação M c 2 ≫ E :

M c 2 + 2 E = M c 2 ⋅ 1 + 2 E M c 2 1 2 = M c 2 1 + E M c 2

Usei a relação 1 + x n ≈ 1 + n x , se x ≪ 1 .

Assim,

p = - M c + M 2 c 2 1 + E M c 2 = M c ⋅ E M c 2

Como p = M v , temos

M v = M c ⋅ E M c 2 → v = E M c 2 c

Agora substituímos os números:

v = 12,75 938 ⋅ 10 6 ⋅ 3 ⋅ 10 8 → v = 4,08   m / s

Resposta

E a b s o r v i d a = 12,75   e V

v = 4 , 0 8   m / s

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