Enunciado

Atração de uma montanha. Uma grande montanha praticamente não a afeta a direção “vertical” indicada por uma linha de prumo. Suponha que a montanha possa ser modelada por uma esfera de R = 2,00 k m e massa específica 2,6 × 10 3 k g / m 3 . Suponha também que uma linha de prumo de 0,50 m de comprimento seja pendurada a uma distância 3 R do centro da esfera e que a esfera atraia horizontalmente o peso da linha de prumo. Qual será o deslocamento do peso da linha de prumo em direção a à esfera?

Passo 1

Primeiramente, é necessário entender a física do problema. O esquema abaixo ajuda a entender o que o problema está pedindo.

Queremos calcular o deslocamento x. Pra isso, um diagrama de corpo livre resolve o problema. Somando então as forças nas direções horizontal, a gente tem:

T s e n θ - F = 0

Onde, F é a força de atração da esfera:

T s e n θ - G M m r 2 = 0

E vertical:

T c o s θ - m g = 0

Igualamos as forças resultantes à 0 , pois após a esfera atrair a linha, o sistema entra em equilíbrio.

Daqui, tiramos que:

T = G M m r 2 s e n ⁡ ( θ )

T = m g cos ⁡ θ

Passo 2

Pra gente achar a massa da montanha é mole. A gente tem o volume dela e a massa específica. Então, só multiplicar um pelo outro, já que:

ρ = M V

M = ρ V

Onde V é o volume de uma esfera:

M = ρ 4 π 3 R 3

M = 8,71 × 10 13 k g

Passo 3

Beleza! Combinando agora as duas equações de T , a gente já consegue achar x, porque:

tan ⁡ θ = x l

x = l t a n ⁡ ( θ )

E, igualando as duas equações de T :

G M m r 2 s i n ⁡ ( θ ) = m g cos ⁡ θ

Simplificando m :

G M r 2 s i n ⁡ ( θ ) = g cos ⁡ θ

Passando o s i n ⁡ ( θ ) para o outro lado:

sin ⁡ θ cos ⁡ θ = G M g r 2

tan ⁡ θ = G M g r 2

Passo 4

Como vimos que:

x = l t a n θ

Podemos, agora, substituir o valor da tangente:

x = l G M g r 2

Lembrando que queremos isso tudo a uma distância de r = 3 R , ok? Então, substituindo os valores que temos:

x = 0,50 m 6,67 × 10 - 11 m 3 / k g s 2 8,71 × 10 13 k g 9,8 m / s 2 3 × 2,00 × 10 3 m 2

x = 8,2 × 10 - 6 m

Show! Um deslocamento bem pequeniniho, não é mesmo?

Resposta

O deslocamento é de 8,2 × 10 - 6 m

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