Enunciado

Na figura, um bloco pesando 14,0   N , que pode deslizar sem atrito em um plano inclinado de ângulo θ = 40,0 ° , está ligado ao alto do plano inclinado por uma mola de massa desprezível de 0,450   m de comprimento quando relaxada e cuja constante elástica é 120   N / m . (a) A que distância do alto do plano inclinado fica o ponto de equilíbrio do bloco? (b) Se o bloco é puxado ligeiramente para baixo ao longo do plano inclinado e depois liberado, qual é o período das oscilações resultantes?

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, o ponto de equilíbrio do bloco é o ponto onde todas as forças se cancelam. Vamos pensar nas forças que atuam sobre o bloco. (Definindo o sentido positivo como sendo o sentido da descida do plano).

Empurrando o bloco plano abaixo temos uma componente da força peso cuja fórmula nós conhecemos muito bem:

P x = m g . sen ⁡ ( θ )

E puxando o bloco plano acima temos a força elástica da mola, que segue a lei de Hooke:

F = - k x

As forças perpendiculares ao plano (a normal e a outra componente do peso) se cancelam, já que o bloco só se move na direção da superfície do plano.

Passo 2

Iradoso, pela segunda lei de Newton, temos que:

F = m a

- k x + m g . sen ⁡ ( θ ) = m a

No ponto de equilíbrio, a = 0 , de forma que obtemos:

- k x + m g . sen ⁡ ( θ ) = 0

k x = m g . sen ⁡ θ

E por isso a distorção x da mola no ponto de equilíbrio vai ser:

x = m g . sen ⁡ θ k

x = 14 sin ⁡ 40 ° 120

x = 0,075   m  

E somando isso ao tamanho da mola, obtemos a distância até o topo do plano, dada por:

d = 0,075 + 0,450

d = 0,525   m

Passo 3

Belezoca, agora na letra (b), temos que essa questão é uma espécie de pegadinha.

Eles só querem que a gente encontre o período da oscilação da mola da figura. Que segue essa fórmula bem conhecida:

T = 2 π ω

T = 2 π m k

Você poderia pensar que temos que fazer alguma coisa mirabolante para considerar o efeito da gravidade e tal, mas não precisa. Essas fórmulas aí continuam válidas, seja na horizontal, no plano inclinado ou de cabeça pra baixo ou na superfície da lua. Sendo assim:

T = 2 π 1,4 3 120

T = 0,6 86   s

Resposta

(a) d = 0,525   m

(b) T = 0,6 86   s

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