Enunciado

Um automóvel de 1000   k g está parado em um sinal de trânsito. No instante em que o sinal abre, o automóvel começa a se mover com uma aceleração constante de 4,0   m / s 2 . No mesmo instante um caminhão de 2000   k g , movendo-se no mesmo sentido com velocidade constante de 8,0   m / s , ultrapassa o automóvel. (a) Qual é a distância entre o CM do sistema carro-caminhão e o sinal de trânsito em t = 3,0   s ? (b) Qual é a velocidade do CM nesse instante?

Passo 1

A equação da posição para um movimento retilíneo uniformemente variado, considerando a origem de nosso sistema de referência no sinal e partindo do repouso, é:

x t = a t 2 2     e q . 1

E a equação da posição para um movimento retilíneo uniforme, considerando o mesmo referencial:

x t = v 0 t     e q . 2

A partir dessas equações vamos determinar a posição de cada veículo e, por fim, aplicaremos a seguinte relação para determinar a coordenada x do centro de massa:

x c m = x 1 m 1 + x 2 m 2 m 1 + m 2     e q . 3

Além disso, devemos lembrar que a velocidade para um MRUV é dada por:

v t = v 0 + a t     e q . 4

E, a partir, desta relação, determinaremos a velocidade do centro de massa usando a seguinte expressão:

v c m = v 1 m 1 + v 2 m 2 m 1 + m 2       e q . 5

Passo 2

Usando a e q . 1 para determinar a posição do automóvel no instante t = 3   s , sabendo que sua aceleração é a a = 4   m / s 2 :

x a = 1 2 × 4 × 3 2 = 18   m

De maneira análoga, usaremos a e q . 2 para determinar a posição do caminhão no mesmo instante t = 3   s , sabendo que sua velocidade é constante e igual a 8   m / s :

x c = 8 × 3 = 24   m

Passo 3

Com a posição de cada veículo em mãos, vamos usar a e q . 3 para determinar a coordenada do eixo x do sistema:

x c m = 18 × 1000 + 24 × 2000 3000 = 22   m

Passo 4

Agora, usando a e q . 4 para determinar a velocidade do automóvel em t = 3   s :

v a = 4 × 3 = 12   m / s

E lembrando que a velocidade do caminhão é constante e igual a 8   m / s .

Passo 5

Usando, por fim, a e q . 5 para determinar a velocidade do centro de massa do sistema no instante t = 3   s :

v c m = 12 × 1000 + 8 × 2000 3000 = 9,3   m / s

Resposta

  1. x c m = 22   m ;
  2. v c m = 9,3   m / s .
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