Enunciado

Um pacote de 2,65   k g , inicialmente em repouso, explode em três partes que deslizam em um piso sem atrito. O pacote estava inicialmente na origem de um sistema de coordenadas. A parte 1 tem massa m 1 = 0,500   k g e velocidade 10,0   i ^ + 12,0   j ^   m / s . A parte 2 tem massa m 2 = 0,750   k g , uma velocidade escalar de 14,0   m / s e sua trajetória faz um ângulo de 110 ° (no sentido anti-horário em relação ao semi-eixo positivo). (a) Qual é a velocidade escalar da parte 3? (b) Em que direção ela se move?

Passo 1

Vamos começar escrevendo a velocidade da parte 2 em termos dos vetores unitários.

v → 2 = 14,0 cos ⁡ 110 ° i ^ + sen ⁡ 110 °   j ^

v → = - 4,8   i ^ + 13,2   j ^   m / s

Beleza, com isso já podemos fazer uma expressão para o momento linear total do sistem após a explosão:

p → = p → 1 + p → 2 + p → 3

Já que o sistema estava inicialmente em repouso, pela lei de conservação do momento linear, essa soma tem que ser igual a zero durante todo o tempo. Então:

p → 1 + p → 2 + p → 3 = 0

Passo 2

Agora vamos resolver essa expressão para encontrar   v → 3 :

p → 1 + p → 2 + p → 3 = 0

m 3 v → 3 = - m 1 v → 1 - m 2 v → 2

m 3 v → 3 = - 0,500 10,0   i ^ + 12,0   j ^ - 0,750 - 4,8   i ^ + 13,2   j ^

m 3 v → 3 = - 5,0   i ^ - 6,0   j ^ + 3,6   i ^ - 9,9   j ^

m 3 v → 3 = ( - 1,4   i ^ - 15,9   j ^ )

E já que a massa total do pacote é m = 2,65   k g :

m 3 = 2,65 - 0,500 - 0,750 = 1,4   k g

Então:

v → 3 = 1 1,4 ( - 1,4   i ^ - 15,9   j ^ )

v → 3 = - 1,0   i ^ - 11,36   j ^   m / s

Passo 3

(a) Agora podemos calcular o módulo desse vetor:

v 3 = 1,0 2 + 11,36 2

v 3 = 11,4   m / s

(b) E para definir a sua direção só precisamos calcular o seu ângulo em relação ao semi-eixo positivo de x .

θ = arctan ⁡ 11,36 1,0 = 85 °

Mas como as duas componentes do vetor são negativas, isso quer dizer que estamos no teceiro quadrante do plano:

Então o ângulo em relação ao semieixo positivo em x é:

θ = 180 ° + 85 ° = 265 °

Resposta

(a) O módulo da velocidade é v 3 = 11,4   m / s .

(b) O vetor forma um ângulo de 265 ° com o semieixo positivo no sentido anti-horário.

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