Lista de Exercícios Resolvidos de Velocidade e Momento Linear do Centro de Massa

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A figura mostra dois veículos que colidem de modo totalmente inelástico num cruzamento 90 ° . A velocidade dos escombros conjuntos tem valor v f = 16,0   m / s imediatamente após a colisão e direção que faz 24 ° com o eixo y . O veículo 1 , que vinha no eixo x da figura, tem massa m 1 = 950   k g , e o veículo 2 tem massa m 2 = 1900   k g . Considere o sistema isolado durante a colisão.

a Forneça o vetor momento linear do centro de massa do sistema imediatamente depois da colisão, P → C M f , e imediatamente antes da colisão, P → C M i . Justifique.

b   Qual a velocidade escalar de cada veículo antes da colisão?

c Forneça o vetor força que atuou sobre o veículo 1 , F → 1 , sabendo que a colisão teve duraçãoo de 0,20   s .

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Um bloco A deslocando-se com momento linear p → A = a i ^ - a j ^ , colide com um bloco B de momento linear p → B = a i ^ + a j ^ , onde a é constante. Suponha que não há força externa. Após a colisão o centro de massa do sistema segue, de acordo com o sistema de coordenadas ortogonais X Y Z e os respectivos vetories unitários i ^ , j ^ e k ^ :

a   na direção x e sentido negativo;

b   na direção y e sentido negativo;

c   na direção x e sentido positivo;

d   na direção y e sentido positivo;

e   em uma direção formando um ângulo π 4 com os eixos O X e O Y .

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Um disco de massa m 1 = 3,0   k g , inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito, sofre uma colisão não-frontal com um segundo disco de massa m 2 = 2,0   k g , movendo-se inicialmente ao longo do eixo x com velocidade escalar constante V 2 i = 2,0   m / s . Após a colisão, o segundo disco passa a ter velocidade escalar V 2 f = 1,0   m / s e sai a um ângulo θ 2 = - 60 ° em relação ao eixo x positivo, veja a figura. Use o sistema de coordenadas fornecido.

a Ache o vetor velocidade do centro de massa dos discos antes da colisão.

b Em termos dos vetores unitários i ^ e j ^ , determine o vetor velocidade V → 1 f do disco 1 após a colisão. Calcule o ângulo θ 1 com que ele emerge.

d Determine o vetor velocidade do centro de massa do sistema após a colisão, explicitamente usando seu resultado da letra b . Compare com o resultado da letra a e discuta.

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Duas partículas 1 e 2 de massas m 1 = m e m 2 = 4 m movem-se em movimento retilíneo uniforme com velocidades v → 1 = v → / 4 e v → 2 = - v → respectivamente. Num dado instante ocorre uma colisão entre elas totalmente inelástica, pode-se afirmar, sobre a velocidade V → c m do centro de massa das partículas que:

a   Depois da colisão V → c m = 0 → ;

b   Antes da colisão V → c m = 1 4 v → ;

c   Depois da colisão V → c m = - 3 4 v → ;

d   Antes da colisão V → c m = 0 → e depois da colisão V → c m = - v → ;

e   Depois da colisão V → c m = 3 4 v → ;

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Um disco de borracha de 0,500   k g se movimenta inicialmente com vetor velocidade v 1 sobre uma superfície horizontal sem atrito e sofre uma colisão com um disco de borracha de 0,300   k g movendo-se inicialmente com vetor velocidade v 2 . Considere as seguintes situações:

a Se o vetor velocidade v 1 = 3,00   i   ( m / s ) e o vetor velocidade do centro de massa v C M = 1,00   i + 3,00   j m / s , calcule o vetor velocidade v 2 .

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Um pescador está sentado no centro de sua canoa que repousa em um lago de águas tranquilas. A sua frente está um cesto com peixes a uma distância d . Num dado instante ele muda a posição do cesto colocando-o detrás dele na posição d ' . Considerando o centro de massa do sistema canoa-pescador-cesto e desprezando-se o atrito da água com a canoa, é correta a opção:

  1. O centro de massa permanece na posição original;
  2. O centro de massa move-se para frente de d ' ;
  3. O centro de massa move-se para trás de d ;
  4. Após mudar o cesto de posição a canoa passa a se movimentar com velocidade uniforme, pois a força resultante sobre o sistema é nula;
  5. Nada se pode afirmar pois não são conhecidas as massas da canoa, do pescador e do cesto.

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Duas partículas 1 e 2 de massas m 1 = m e m 2 = 4 m movem-se em movimento retilíneo uniforme com velocidades v → 1 = v → / 4 e v → 2 = - v → respectivamente. Num dado instante ocorre uma colisão entre elas totalmente inelástica, pode-se afirmar, sobre a velocidade V → c m do centro de massa das partículas que:

  1. Depois da colisão V → c m = 0 → ;
  2. Antes da colisão V → c m = 1 4 v → ;
  3. Depois da colisão V → c m = - 3 4 v → ;
  4. Antes da colisão V → c m = 0 → e depois da colisão V → c m = - v → ;
  5. Depois da colisão V → c m = 3 4 v → ;

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Dois blocos A e B de massas m A = 2 m e m B = m , respectivamente, encontraram-se sobre uma superfície horizontal lisa. O bloco A desloca-se com velocidade horizontal v → constante, enquanto o bloco B encontra-se em repouso. Após a colisão os blocos separam-se e observa-se que o bloco de massa m A recua movendo-se com velocidade de módulo 2 v na mesma direção do seu deslocamento inicial, como mostra a figura.

  1. Determine v B , o módulo da velocidade do bloco B após a colisão.
  2. Calcule o módulo da velocidade do centro de massa dos blocos antes e depois da colisão.
  3. Determine a variação da energia cinética do sistema no processo da colisão.

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Uma partícula de massa m move-se inicialmente com velocidade de módulo u ao longo de uma trajetória retilínea que forma um ângulo de θ 1 com o eixo X , como mostra a figura. Ela colide com uma segunda partícula que tem duas vezes sua massa, isto é m 2 = 2 m , que está movendo-se ao longo da direção X e sentido positivo com velocidade de módulo três vezes maior que u , ou seja: v 2 = 3 u . Depois da colisão, a primeira partícula move-se ao longo da direção Y e sentido negativo, enquanto que a segunda partícula continua a mover-se ao longo do eixo X e sentido positivo, com uma velocidade escalar reduzida. Considere que não atuam forças externas sobre as partículas. Se na solução de algum item abaixo for usada alguma lei de conservação, justifique-a.

  1. Determine o vetor momento linear total inicial para este sistema de duas partículas;
  2. Calcule os módulos das velocidades de ambas as partículas depois da colisão em função dos dados do problema;
  3. Determine o vetor velocidade do centro de massa do sistema antes e depois da colisão.

Dados: cos ⁡ θ 1 = 3 / 5 ; sen ⁡ θ 1 = 4 / 5 .

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Um rojão de massa M explode após seu lançamento em apenas dois pedaços, um com o dobro da massa do outro. O rojão imediatamente antes da explosão tem velocidade V → e o pedaço de menor massa imediatamente após a explosão tem velocidade - 2 V → . A velocidade do pedaço de maior massa imediatamente após a explosão é

(a) 2 V →

(b) V →

(c) 5 V → / 2

(d) 0 →

(e) - 2 V →

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Um disco de borracha de 0,500   k g se movimenta inicialmente com vetor velocidade v 1 sobre uma superfície horizontal sem atrito e sofre uma colisão com um disco de borracha de 0,300   k g movendo-se inicialmente com vetor velocidade v 2 . Considere as seguintes situações:

a) Se o vetor velocidade v 1 = 3,00   i   ( m / s ) e o vetor velocidade do centro de massa v C M = 1,00   i + 3,00   j m / s , calcule o vetor velocidade v 2 .

b) Suponha que o vetor velocidade v 1 = 0 e que o vetor velocidade v 2 = 2,00   j   ( m / s ) . Suponha também que após a colisão, o disco de 0,300   k g tem velocidade escalar v igual a 2,00   m / s e faz um ângulo θ = 50,0 o em relação ao eixo x positivo. Determine a velocidade do disco de 0,500   k g após a colisão.

c) Suponha finalmente que o vetor velocidade v 1 = 2,00   i   ( m / s ) e que o vetor velocidade v 2 = 1,00   j   ( m / s ) e que a colisão é perfeitamente inelástica. Calcule a percentagem de energia perdida nesta colisão.

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Duas partículas se deslocando em uma superfície horizontal sem atrito colidem elasticamente. Observando a colisão no referencial do Centro de Massa, analise as afirmações abaixo:

I -O módulo da velocidade de cada uma das partículas é o mesmo antes e depois da colisão.

I I -Ambas as partículas se desviam de um mesmo ângulo de sua trajetória inicial.

I I I -O momento linear total do sistema é nulo.

São corretas as afirmações:

  1. Somente I .
  2. Somente I   e   I I .
  3. Somente I I .
  4. Somente I I   e   I I I .
  5. Todas as afirmações.

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Em um dado instante, o centro de massa de um sistema de duas partículas está localizado sobre o eixo x no ponto x C M = 2,0   m e possui velocidade V C M = 5,0   m / s na direção positiva do eixo x . Uma das partículas encontra-se na origem x 1 = 0 e a outra partícula possui massa m 2 = 0,10   k g e está em repouso sobre o eixo x no ponto x 2 = 8,0   m .

a) Qual a massa m 1 da partícula que está na origem?

b) Calcule o momento linear total do sistema.

c) Qual é a velocidade v 1 da partícula que está na origem?

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Em um dos últimos jogos olímpicos de inverno, a final de Curling foi disputada entre Canadá e Rússia. O jogo consiste em posicionar pedras dentro de um alvo. Em uma de suas jogadas a equipe canadense realizou uma proeza típica de uma equipe vencedora. A figura abaixo representa a pista de gelo vista de cima. As duas pedras B e C da equipe russa estão em repouso e foram posicionadas durante o jogo. Uma terceira pedra A a ser lançada pela equipe canadense está também ilustrada. A pedra A lançada com velocidade v → A i 1 = 4,00   i ^     m / s , consegue acertar a pedra russa B em uma colisão elástica bidimensional expelindo B para fora do alvo com uma velocidade de módulo v B f 1 = 2,83   m / s , sua trajetória faz um ângulo θ 1 = - 45,0 ° com a horizontal. Na sequencia a pedra A faz uma segunda colisão elástica unidimensional com a pedra C expelindo-a para fora do alvo. Considere todo atrito entre as pedras e o solo eliminado pelos outros membros das equipes com suas vassouras. Considere as massas de todas as pedras m = 20,0   k g .

a) Determine a velocidade do centro de massa v C M → antes da primeira colisão.

b) Encontre o ângulo θ 2 e a velocidade da pedra A v → A f 1 ao final da primeira colisão com a pedra B .

c) Calcule a força média F m e d → exercida pela pedra A sobre a pedra B durante a colisão que durou 2,00   .   10 - 2   s .

d) Considere agora a colisão entre as pedras A e C . Encontre v → A f 2 e v → C f 2 ao final da segunda colisão.

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Dois corpos C 1 e C 2 se movem em um plano sem atrito. Suas posições variam no tempo e são dadas pelos vetores r 1 → t = 3 t   i ^ + 12   j ^ e r 2 → t = 9   i ^ + 4 t   j ^ , onde t é dado em segundos e a posição em metros. O corpo C 1 tem massa m 1 = 1,0   k g e o corpo C 2 tem massa m 2 = 3,0   k g . Num dado instante de tempo, os dois corpos se chocam em uma colisão perfeitamente inelástica. Após a colisão, o vetor velocidade do conjunto faz um ângulo α com a horizontal.

Calcule:

a) O vetor posição do centro de massa do sistema r c m quando t = 0 .

b) O vetor velocidade do centro de massa v c m dos corpos na iminência da colisão.

c) O ângulo α e o módulo da velocidade v f logo após a colisão.

d) A força que C 2 faz em C 1 durante a colisão que durou um décimo de segundo.

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Seja um objeto de massa m = 2 k g colocado no topo de um plano inclinado fixo de massa M = 8 k g , base L = 4   m e altura h = 3   m . Considere o objeto como uma massa pontual e despreze o atrito entre o objeto e o plano inclinado.

a) Determine a posição do centro de massa r → C M do conjunto (objeto + plano inclinado) na posição ao lado, antes do objeto ser solto. A posição do centro de massa do plano inclinado é dado por r → P = 2 3 L i ^ + 1 3 h j ^ .

b) O objeto é largado do repouso de desce o plano inclinado. Determine a velocidade do centro de massa v → C M do conjunto imediatamente antes do objeto sair do plano inclinado.

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Dois meninos com massas de 40kg e 60kg estão inicialmente em repouso sobre uma superfície horizontal sem atrito, segurando as extremidades de uma haste de massa desprezível e de 10m de comprimento. Os garotos puxam-se ao longo da haste. Quando eles se encontram, de quanto terá sido o deslocamento do menino de 40 kg?

a) precisa conhecer as forças que eles exercem

b) 4,0 m

c) 5,0 m

d) 6,0 m

e) 10 m

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Assinale a alternativa verdadeira concernente ao centro de massa de um sistema de corpos.

(A) Toda a massa do sistema está concentrada em seu centro de massa.

(B) O centro de massa de um sistema pode estar localizado fora do sistema.

(C) Se aplicarmos forças externas ao sistema, o centro de massa não muda.

(D) A velocidade do centro de massa de objetos colidentes de um sistema pode mudar após a colisão.

(E) A velocidade do centro de massa de um sistema de corpos permanece constante se a resultante das forças externas aplicadas ao sistema for nula.

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Um atleta com altura h   = 1,70   m e massa m = 60,0   k g se lança com uma velocidade v   =   3,6   i     m / s sobre uma plataforma de comprimento L   =   4,0   m   e massa M   =   120   k g , inicialmente em repouso, que está sobre uma superfície de atrito desprezível. A plataforma entra em movimento horizontal e o atleta desliza sobre a superfície da plataforma até finalmente chegar em repouso em relação a ela. O coeficiente de atrito cinético entre o atleta e a plataforma é µ   =   0,40 .

(a) Supondo que a componente y do centro de massa do atleta esteja à 3 / 5 da sua altura, calcule a posição do centro de massa do sistema (atleta + plataforma) no instante em que a componente x do centro de massa do atleta estiver passando pela origem.

(b) Calcule a variação do momento linear do atleta e da plataforma. Porque o momento linear não se conservou no atleta e na plataforma?

(c) Calcule durante quanto tempo a força de atrito cinético atuou sobre o atleta supondo que a velocidade final do conjunto é V → = 1,2 i →   m / s .

(d) Que tipo de colisão ocorreu? Justifique sua resposta.

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A figura mostra um sistema composto por duas partículas, de mesma massa m   =   1,0   k g , sobre as quais atuam forças, representadas pelas setas.

Nesta situação, a aceleração do centro de massa do sistema é igual a:

(a) 4 i ^ + 2 j ^   m / s 2

(b) - 2 i ^ + 1 j ^   m / s 2

(c) 1 i ^ + 1,5 j ^   m / s 2

(d) 13   i ^   m / s 2

(e) 2 i ^ + 2 j ^ m / s 2

(f) 0   m / s 2

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Um sistema possui duas partículas que movimentam-se no plano x y . No instante   t   =   0   s , o centro de massa do sistema tem vetor posição R → C M = 2,4 j ^ ( m ) , pois uma das partículas com massa m 1 está na origem e a outra, com massa m 2 = 0,5 k g , tem vetor posição r → 2 = 6 j ^ ( m ) . Sabendo que a velocidade instantânea do centro de massa do sistema é dada por V → C M = 0,75 t 2 i ^ ( m / s ) , podemos afirmar que o módulo da força externa resultante que atua no sistema no instante t = 3   s , em Newtons, é:

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Uma partícula de massa m = 10 g se move com velocidade v → 1 i = 2,00   i ^   m / s e aproxima-se de outra partícula de mesma massa que está parada em uma superfície sem atrito. As duas partículas colidem obliquamente. Logo após a colisão a primeira partícula passa a se mover com uma velocidade de módulo v 1 f fazendo um ângulo de 30 o acima da direção de seu movimento antes da colisão. A segunda partícula logo após a colisão passa se mover com uma velocidade com módulo v 2 f fazendo um ângulo de 60 o abaixo da direção inicial que tinha a primeira partícula antes da colisão.

(a) Determine a velocidade do centro de massa v → c m do conjunto logo após a colisão.

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Em uma colisão bidimensional com força resultante externa nula, duas partículas de mesma massa, m = 4,0   k g , colidem elasticamente como mostra a figura. Antes da colisão a velocidade da partícula 1 é v → 1 i = 1,0   i ̂   m / s e a partícula 2 está em repouso. O ângulo da velocidade v → 1 f com o eixo x é θ 1 = 30 ° .

(a) Determine a velocidade v → 1 f da partícula 1 após a colisão.

(b) Obtenha o impulso I → 1 sobre a partícula 1 durante a colisão.

(c) Encontre a velocidade inicial da partícula 2 em relação ao centro de massa do sistema.

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Dê as respostas em notação científica, no sistema internacional de unidades considerando rigorosamente o conceito de algarismos significativos.

Dois blocos de massa m 1 = 10,1   k g e m 2 = 15,0   k g separados por uma distância d = 2,50   m se movem no sentido do eixo x positivo com v → 1 i = 7,50   i ^   m / s e v → 2 i = 5,00   i ^   m / s e vão sofrer uma colisão perfeitamente inelástica. Considere que no instante inicial o bloco de massa m 2 se encontre na origem do sistema de coordenadas na posição x = 0 . Trate os blocos como massas pontuais.

a) Determine X C M t que é a equação que governa o movimento do centro de massa do sistema em função do tempo.

b) Determine o vetor velocidade final V → f dos blocos após a colisão.

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Um sistema é constituído por duas partículas de massas m 1 = m e m 2 = 2 m , ligadas por uma mola ideal, sobre uma mesa horizontal sem atrito. Em um determinado instante, o sistema está em repouso, com a mola distendida e uma força externa F → 1 constante começa a ser exercida sobre a partícula de massa 2 m , na situação mostrada na figura a seguir.

Que tipo de movimento o centro de massa do sistema formado pelas partículas e pela mola descreve?

(a) Movimento retilíneo uniformemente acelerado.

(b) Movimento retilíneo uniforme.

(c) Movimento circular uniforme.

(d) Movimento circular uniformemente acelerado.

(e) O centro de massa vai oscilar em torno da distância média entre as partículas.

(f) A trajetória será uma parábola.

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Um cachorro de massa m encontra-se parado na extremidade de um barco de massa M ( M > m ) distribuída uniformemente em seu comprimento d . O sistema encontra-se em repouso em um lago de águas calmas. Em um dado momento o cachorro se movimenta para a outra extremidade. Uma menina observa a situação às margens do lago, em repouso. Desprezando o atrito entre o barco e as águas do lago é incorreto afirmar que:

(a) O centro de massa do sistema barco-cachorro permanece em repouso durante o trajeto do cachorro.

(b) Para a menina o cachorro permanece em repouso enquanto o barco se move sobre as águas do lago.

(c) Para a menina, durante o trajeto do cachorro, o barco se movimenta no sentido oposto.

(d) Para a menina, o cachorro se move mais do que o barco.

(e) O momento linear do sistema cachorro-barco se conserva.

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Dois objetos de dimensões desprezíveis, de massas m e 2 m , movem-se no plano x y , livres de forças externas, com velocidades v 1 → = v 0 ( i ^ + j ^ ) e v 2 → = v 0 ( i ^ - j ^ ) respectivamente, onde i ^ e j ^ representam os unitários dos eixos cartesianos. Supondo que os dois objetos se choquem numa colisão totalmente inelástica, determine

  1. As velocidades do centro de massa do sistema, antes e depois da colisão;
  2. Os momentos lineares p 1 ' → e p 2 ' → dos objetos, no referencial de centro de massa, antes da colisão.
  3. Que fração da energia cinética é “perdida” com a colisão.

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Um menino encontra-se parado em uma das extremidades de um barco que está em um lago tranquilo. Inicialmente o conjunto (barco-menino) move-se com velocidade constante, em relação a um referencial inercial fixo colocado na margem do lago. Num dado instante o menino move-se para a outra extremidade do barco e ao chegar neste lugar ele para. Para o sistema barco-menino, desprezando-se o atrito entre o barco e a água, pode-se afirmar que

  1. A sua velocidade antes do menino se movimentar é diferente de depois do menino parar.
  2. A sua velocidade é a mesma de antes do início do movimento do menino e depois do menino parar.
  3. A sua velocidade pode ser nula depois do menino parar.
  4. Não se pode determinar a sua velocidade, pois não se conhece a velocidade do menino sobre o barco.
  5. Não se pode determinar a sua velocidade, a menos que sejam conhecidas as massas do menino e do barco.

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Uma granada está em repouso sobre uma mesa horizontal e sem atrito. Num dado instante ela explode em dois fragmentos de massas e velocidades diferentes, onde os fragmentos permanecem movimentando-se sobre a mesa. É possível afirmar que:

  1. A energia cinética é conservada.
  2. A posição do centro de massa das partículas varia com o tempo.
  3. O momento linear total do sistema não é conservado.
  4. A velocidade do centro de massa é nula após a explosão.
  5. Nenhuma das opções acima está correta.

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Duas partículas colidem numa superfície sem atrito. As velocidades de ambas antes da colisão são mostradas na figura ao lado. Após a colisão, a partícula A move-se com ( 0,5   m / s )   î . Considere que a massa da partícula A é o dobro da massa da partícula B , ou seja, m A   =   2 m B .

  1. Qual é a velocidade do centro de massa do sistema antes da colisão?
  2. Encontre o vetor velocidade da partícula B após a colisão.
  3. A colisão é elástica? Justifique sua resposta

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Numa superfície sem atrito, um bloco de massa m 1 = 1,0   k g está preso a uma mola de constante elástica k = 3,0 × 10 2 N / m e, inicialmente, encontra-se em repouso. Um bloco de massa m 2 = 2,0 k g , que se move com uma rapidez v = 3,0 m / s , colide com o primeiro bloco e fica grudado. A compressão máxima de mola é

(A) 10   c m

(B) 2 0   c m

(C) 40   c m

(D) 16   c m

(E) 12   c m

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Em uma dada colisão bidimensional, uma bola de bilhar de massa , deslocando-se com velocidade atinge uma segunda bola idêntica, que está inicialmente em repouso, como ilustrado na figura abaixo. Após a colisão, a primeira bola passa a deslocar-se com velocidade de módulo , em uma direção que faz um ângulo de com eixo .

(a) Calcule o valor da velocidade da segunda bola imediatamente após a colisão (expresse seu resultado em termos de ).

(b) Tal colisão é elástica ou inelástica? Justifique quantitativamente sua resposta.

(c) Determine velocidade do centro de massa do sistema antes a depois da colisão. Justifique sua resposta.

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