Enunciado

Um avião deve voar rumo norte, de A para B , e então voltar para A . A distância entre A e B é L . A velocidade do avião em relação ao ar é v e a velocidade do vento é v ' (a)Prove que o tempo para uma viagem de ida e volta, quando não há vento, v '   =   0 , é t a   =   2 L / v . (b) Mostre que o tempo para uma viagem de ida e volta, quando o vento sopra para leste (ou oeste), é t b   = t a / 1 - (     v ' 2 / v 2 ) . (c) Mostre que o tempo para a viagem de ida e volta quando o vento sopra para o norte (ou sul) é t c   =   t a / ( 1   - v ' 2 / v 2 ) .   (d) Qual é a possibilidade das viagens (b) ou (c) quando v '   =   v ? Para um dado valor de v ' , qual tempo será o maior, t b ou t c ?

Passo 1

E aí, beleza?? Vamos resolver item por item esse problema. Inicialmente, para o item (a), consideremos:

Nesse caso, o tempo de subida é idêntico ao tempo de descida. A distância percorrida é d = 2 L , assim, vem:

t a = d v ∴ t a = 2 L v

Passo 2

Agora, para o item (b), teremos uma composição de velocidades. Para que o avião se mantenha na direção vertical, a componente horizontal de v deve anular v ' , como segue a figura:

Assim, podemos encontrar a inclinação θ com:

v cos ⁡ ( θ ) = v ' ∴ cos ⁡ θ = v ' v

Desse modo, a velocidade vertical fica:

v y = v   s e n θ = v   1 - cos 2 ⁡ ( θ ) = v 1 - v ' v 2

Portanto, como a distância a ser percorrida continua sendo 2 L , vem:

t b = 2 L v y = 2 L / v 1 - v ' v 2

Portanto:

t b = t a 1 - v ' v 2

Passo 3

Agora, para o item (c), como a velocidade do avião na ida e na volta são diferentes, devido à composição de velocidades:

Assim, devemos considerar o tempo em cada trecho e, então, somá-los:

t c = L v + v ' + L v - v ' =   L   v + v ' + v - v ' v 2 - v ' 2

Ou seja:

t c = 2 L v v 2 - v ' 2 = 2 L / v 1 - v ' v 2

Portanto:

t c = t a 1 - v ' v 2

Passo 4

No caso em que v ' > v não é possível que o avião execute a trajetória desejada, pois, no caso do item (b), ele necessariamente se moveria em uma diagonal, enquanto no caso do item (c), o avião apenas conseguiria executar um dos trechos (na condição em que o vento sopra na direção favorável).

No caso em que   v ' < v , temos que v ' v < 1 , logo:

0 < 1 - v ' v 2 < 1

Dessa maneira, podemos escrever a seguinte relação:

1 - v ' v 2 < 1 - v ' v 2

Portanto:

1 1 - v ' v 2 < 1 1 - v ' v 2

Multiplicando por t a , chegamos em:

t a 1 - v ' v 2 < t a 1 - v ' v 2

Ou seja:

t b > t c

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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