Enunciado

Usando as componentes de V 1 e V 2 expressas na forma esférica (Eq. 3. 10), prove que o ângulo entre estes vetores pode ser encontrado a partir da relação

cos ⁡ θ 12 = s e n θ 1 s e n θ 2 cos ⁡ ( ϕ 1 - ϕ 2 ) + cos ⁡ ( θ 1 ) cos ⁡ ( θ 2 )

Onde θ 12 é o ângulo entre os dois vetores. Esse resultado é muito usado nos cálculos astronômicos. Faça uma adaptação desse resultado para obter o ângulo entre as verticais em São Francisco (latitude: 37 °   45 ' N; longitude: 122 °   27 ' O) e Nova York (latitude: 40 °   40 ' N; longitude: 73 °   50 ' O). Compare sua resposta com a do Problema 2.17.

Passo 1

E aí, beleza? Para resolver esse problema, iremos, simplesmente, calcular o produto escalar entre os vetores V 1 → e V 2 → . Assim, vem:

V 1 → = V 1 s e n θ 1 cos ⁡ ϕ 1 ,   s e n θ 1 s e n ϕ 1 , c o s ⁡ ( θ 1 )

V 2 → = V 2 s e n θ 2 cos ⁡ ϕ 2 ,   s e n θ 2 s e n ϕ 2 , c o s ⁡ ( θ 2 )

Assim, tomemos o produto escalar:

V 1 → ∙ V 2 → = V 1 V 2 cos ⁡ ( θ 12 )

V 1 → ∙ V 2 → = V 1 V 2 s e n θ 1 s e n θ 2 cos ⁡ ϕ 1 cos ⁡ ϕ 2 + s e n θ 1 s e n θ 2 s e n ϕ 1 s e n ϕ 2 + cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2

Podemos melhorar essa expressão com:

V 1 → ∙ V 2 → = V 1 V 2 s e n θ 1 s e n θ 2 [ cos ⁡ ϕ 1 cos ⁡ ϕ 2 + s e n ϕ 1 s e n ϕ 2 ] + cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2

Assim, note que o que está dentro dos colchetes corresponde ao cosseno da diferença, logo:

V 1 → ∙ V 2 → = V 1 V 2 s e n θ 1 s e n θ 2 cos ⁡ ( ϕ 1 ) cos ⁡ ( ϕ 2 ) + cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2

Passo 2

Assim, igualando as expressões para o produto escalar, chegamos em:

V 1 V 2 cos ⁡ ( θ 12 ) = V 1 V 2 s e n θ 1 s e n θ 2 cos ⁡ ( ϕ 1 ) cos ⁡ ( ϕ 2 ) + cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2

Logo:

cos ⁡ θ 12 = s e n θ 1 s e n θ 2 cos ⁡ ( ϕ 1 - ϕ 2 ) + cos ⁡ ( θ 1 ) cos ⁡ ( θ 2 )

Passo 3

Aplicando o resultado demonstrado para as cidades de São Francisco e Nova York:

θ 1 = 37 ° 45 '       ;         ϕ 1 = 122 ° 27 '

θ 2 = 40 ° 40 '     ;         ϕ 2 = 73 ° 50 '

cos ⁡ θ 12 = 0,86

Portanto:

θ 12 ≈ 30,3 °

Que é bem próximo ao ângulo entre as cidades verificado no problema 2.17.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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