Enunciado

Uma bala de chumbo inicialmente a 30°C, funde-se assim que atinge um alvo. Supondo que toda a energia cinética inicial se transforme em energia interna da bala, calcule a velocidade de impacto da bala.

Passo 1

Olá, querido! Temos uma bala que se funde ao atingir o alvo e ele quer a velocidade que bala tinha quando chegou no alvo.

Ele diz para a gente considerar que toda energia cinética inicial se transforma em energia interna da bala. O que isso quer dizer?

Num momento inicial, antes de a balar atingir o alvo, quando ela estava bem pertinho dele, ela tinha uma velocidade v . Essa vai ser a nossa velocidade de impacto. E por ter uma velocidade, ela tinha uma energia cinética inicial

K 0 = m b a l a v 2 2

Porém, ao atingir de fato o alvo, sua velocidade zera, porque ela para no alvo, então a energia cinética final é K f = 0 . Assim a variação de energia cinética fica

Δ K = 0 - m b a l a v 2 2

Assim ela só tem energia cinética no momento inicial. Quando ele diz que essa energia vira energia interna da bala, ele quer dizer que a energia cinética inicial foi totalmente transformada em uma variação de energia interna da bala.

Logo, houve conservação da energia do sistema. De modo que a variação de energia total do sistema é nula. Daí podemos escrever:

Δ E s i s t e m a = ∆ E i n t + ∆ K = 0

Vamos usar essa equação para chegar em v . Bora lá!

Passo 2

Já temos a variação de energia cinética

Δ K = 0 - m b a l a v 2 2

E a energia interna pode ser expressa pela Primeira Lei da Termodinâmica:

∆ E i n t = Q a b s o r v i d o + W s o b r e

Podemos desconsiderar W porque ele não menciona forças internas e nem que a bala realizou algum tipo de trabalho. Aí ficamos com:

∆ E i n t = Q a b s o r v i d o

Esse calor absorvido é o calor que ela absorve para elevar sua temperatura até o ponto de fusão do chumbo e derrete-lo, porque ela derrete ao atingir o alvo.

∆ E i n t = Q f u s ã o + Q d e r r e t e r

Passo 3

O calor que vai apenas modificar a temperatura da bala tem essa fórmulinha

Q = m c Δ T = m c T f - T i

Para a bala, essa expressão fica:

Q d e r r e t e r = m b a l a c c h u m b o T f - T i

Agora repara. T i é a temperatura inicial da bala, e vale 30 ° C . Já T f é a temperatura necessária para fundir o chumbo da bala. Essa temperatura é o ponto de fusão do chumbo e é achado na tabela 18-2 e vale

T f u s ã o = 600   K

Vamos passar isso para a escala Celsius porque a T i está nessa escala. A gente usa a expressão:

T c e l s i u s = T k e l v i n - 273,15

T c e l s i u s = 600 - 273,15 = 326,85   ° C

Então nossa temperatura final em Celsius é

T f = 326,85   ° C

O calor específico do chumbo você encontra na tabela 18-1:

c c h u m b o = 0.128 k J k g . K = 128 J k g . K

Obs: tiramos o prefixo k porque a variação da energia cinética, supondo que a massa da bala está em k g e a velocidade em m / s , está em J , e não em k J . Aí é bom usar todas as energias na mesma unidade. Isso é necessário para não dar ruim nas nossas continhas e nossa velocidade v ser encontrada em m / s

Passo 4

O calor necessário para fundir o chumbo é dado por

Q f u s ã o = m b a l a L f u s ã o

Esse L f u s ã o é o calor latente de fusão do chumbo. Cê acha ele na tabela 18-2:

L f u s ã o = 24.7 k J k g = 24700 J k g

Obs: Tiramos o prefixo k pela mesma razão do passo anterior.

Passo 5

Vamos substituir as expressões dos calores que a gente achou na expressão da energia interna:

∆ E i n t = Q f u s ã o + Q d e r r e t e r

∆ E i n t = m b a l a L f u s ã o + m b a l a c c h u m b o T f - T i

E na equação de conservação de energia, junto a energia variação de energia cinética que achamos no passo 1

∆ E i n t + ∆ K = 0

- 1 2 m b a l a v 2 + m b a l a L f u s ã o + m b a l a c c h u m b o T f - T i = 0

Como todas as massas na equação correspondem à massa da bala, podemos cortar:

- 1 2 v 2 + L f u s ã o + c c h u m b o T f - T i = 0

Isolando v:

v = 2 c c h u m b o T f - T i + L f u s ã o

Substituindo os valores de cada grandeza, e sendo a temperatura final a temperatura de fusão do chumbo:

v = 2 128 ( 326,85 - 30 ) + 247 00

A velocidade inicial será:

v = 354 m / s

Resposta

v = 354 m / s

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