Enunciado

Um balanço improvisado foi construído fazendo uma alça em uma das pontas de uma corda e amarrando a outra ponta no galho de uma árvore. Uma criança está sentada na alça, com a corda na vertical, quando o pai da criança a empurra com uma força horizontal, deslocando-a para um lado. Imediatamente antes de a criança ser liberada a partir do repouso, a corda faz um ângulo de 15 ° com a vertical, e a traçaõ da corda é de 280   N . (a) Quanto pesa a criança? (b) Qual é o módulo da força (horizontal) que o pai está exercendo sobre a criança, imediatamente antes de liberá-la? (c) Se a força máxima que o pai pode exercer sobre a criança é 93   N , qual é o maior ângulo com a vertical que a corda pode fazer enquanto o pai empurra horizontalmente a criança?

Passo 1

Vamos fazer um desenho para representar essa situação:

Para que a criança permaneça em repouso, precisamos ter equilíbrio das forças nas duas direções:

∑ F y = T y - P = 0

F y = T x - F p a i = 0

Onde T x e T y são as componentes da força T nas direções horizontal e vertical:

T y = T cos ⁡ θ

T x = T sen ⁡ θ

Então ficamos com o seguinte sistema:

T cos ⁡ θ - P = 0 T sen ⁡ θ - F p a i = 0

Passo 2

(a) Nosso primeiro objetivo é encontrar o peso da criança, sabendo que ocorre equilíbrio quando o ângulo θ mede 15 ° e a tração na corda é 280   N .

Vamos olhar para a primeira equação do nosso sistema:

T cos ⁡ θ - P = 0

P = 280 cos ⁡ 15 °

P ≅ 270   N

Passo 3

(b) E para encontrar o módulo da força exercida pelo pai nesse mesmo instante, só precisamos olhar para a segunda equação do sistema:

T sen ⁡ θ - F p a i = 0

F p a i = 280 sen ⁡ 15 ° ≅ 72,5   N

Passo 4

(c) Agora queremos calcular qual é o ângulo máximo que a corda pode formar com a vertical, sabendo que o pai só pode exercer uma força de até 93   N .

Vamos olhar mais uma vez para o nosso sistema, já substituindo o valor do peso P :

T cos ⁡ θ - 270 = 0 T sen ⁡ θ - F p a i = 0

T cos ⁡ θ = 270 T sen ⁡ θ = F p a i

Não sabemos qual será a tração da corda quando o ângulo for máximo, então temos que eliminar T de alguma forma. Vamos dividir a segunda equação pela primeira:

sen ⁡ θ cos ⁡ θ = F p a i 270

tan ⁡ θ = F p a i 270

Então, quando a força for máxima, o ângulo máximo será:

θ m á x = arctan ⁡ 93 270 = 19,0 °

Resposta

(a) O peso da criança é de 270   N .

(b) A força exercida pelo pai é de 72,5   N .

(c) O ângulo máximo é de 19,0 ° .

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