Enunciado

Um rio com largura de 400,0 m corre de oeste para leste a 30,0 m/min. Seu barco se move a 100,0 m/min em relação à água, não importando a direção em que segue. Para atravessar esse rio, você parte de um embarcadouro no ponto A localizado na margem sul. Há um barco aportando na direção exatamente oposta, no ponto B localizado na margem norte, e ainda outro no ponto C, 75,0 m abaixo de B (Figura 3.53). a) Aonde na margem norte você aportará, se orientar seu barco perpendicularmente à correnteza e qual distância terá percorrido? b) Se você inicialmente orientar seu barco diretamente para o ponto C e não mudaressa posição em relação à margem, onde na margem norte você aportará? c) Para chegar ao ponto C: i) para qual posição você deve orientar o barco, ii) quanto tempo levará para atravessar o rio, iii) qual distância percorrerá e iv) qual a velocidade escalar do seu barco, conforme medido por um observador parado na margem do rio?

Passo 1

Fala aí!

Temos a seguinte situação:

Todas as velocidades são constantes, portanto a distância percorrida é:

d = v B / T t

Quando B / T é a magnitude da velocidade do barco em relação à terra.

As velocidades relativas são: v → B / T - b a r c o   e m   r e l a ç ã o   à     T e r r a v → B / A - b a r c o   e m   r e l a ç ã o   à   a g u a   v → A / T - á g u a   e m   r e l a ç ã o   à   T e r r a

E são relacionadas por:

v → B / T = v → B / A + v → A / T

Seja + x ao leste e + y ao norte.

Sabemos que:

v → A / T - x = + 30 m / m i n

v → A / T - y = 0

E que:

v → B / A = 1000 m / m i n

A direção de v → B / A é a direção na qual o barco está apontado.

Bora lá!

Passo 2

  1. Como v → B / A - y = + 100.0 m / m i n e v → B / A - x = 0 .
  2. Então,

    v B / T - x = v B / A - x + v A / T - x = 30 m / m i n

    E

    v B / T - y = v B / A - y + v A / T - y = 100 m / m i n

    O momento de atravessar o rio é dado por:

    t = y - y 0 v B / T - y = 400 m 100 m / m i n = 4 m i n

    E

    x - x 0 = 30 m / m i n ⋅ 4 m i n = 120 m

    Você aterrissará 120 m a leste do ponto B, que fica a 45 m a leste do ponto C. A distância que você percorreu é dada por:

    400 m 2 + 120 m 2 = 418 m

    Show?

    Passo 3

  3. v → B / A está direcionado pelo ângulo φ leste do norte, onde:
  4. tan ⁡ φ = 75 m 400 m

    E então:

    φ = 10,6 °

    Tranquilo até aqui?

    Passo 4

    E então, temos que:

    v B / A - x = 100 m / min ⁡ sen ⁡ 10,6 ° = 18,4 m / m i n

    E

    v B / A - y = 100 m / min ⁡ cos ⁡ 10,6 ° = 98,3 m / m i n

    E agora podemos calcular:

    v B / T - x = v B / A - x + v A / T - x = 18,4 m / m i n + 30 m / m i n = 48,4 m / m i n

    E

    v B / T - y = v B / A - y + v A / T - y = 98,3 m / m i n

    E para calcular o tempo que isso ocorre:

    t = y - y 0 v B / T - y = 400 m 98,3 m / m i n = 4,07 m i n

    Assim,

    x - x 0 = 48,4 m / m i n ⋅ 197 m

    Você pousará 197 m rio abaixo de B, então 122 m a rio abaixo de C.

    Bacana, não é?

    Passo 5

  5. Então, para chegar ao ponto C:
  1. Se você chegar ao ponto C, então v → B / T   está direcionado a 10,6 ° leste do norte, que é 79,4 ° norte do leste. Não sabemos a magnitude de v → B / T e a direção de v → B / A .
  2. Na parte (a), descobrimos que, se apontarmos o barco para o norte, pousaremos a leste de C, para pousar em C, devemos apontar o barco para oeste do norte. Vamos fazer v → B / A estar em um ângulo φ do norte do oeste. Vejamos no diagrama de adição de velocidaderelatva acima. A lei dos senos nos diz que:

    sen ⁡ θ v A / T = sen ⁡ 79,4 ° v B / A

    Isso implica que:

    sen ⁡ θ = 30 m / m i n 100 m / m i n sen ⁡ 79,4 °

    E então,

    θ = 17,15 °

    E isso implica que:

    φ = 180 ° - 79,4 ° - 17,15 ° = 83,5 °

    O barco vai seguir 83,5 ° norte de oeste, então 6,5 ° oeste de norte.

    Assim,

    v B / T - x = v B / A - x + v A / T - x = - 100 m / m i n ⋅ cos ⁡ 83,5 ° + 30 m / m i n = 18,7 m / m i n

    E

    v B / T - y = v B / A - y + v A / T - y = - 100 m / m i n ⋅ sen ⁡ 83,5 ° = 99,4 m / m i n

    Observe que esses dois componentes fornecem a direção de v → B / T a 79,4 ° ao norte de leste, conforme necessário.

    Estamos quase lá!

    Passo 6

  3. O tempo para atravessar o rio é:
  4. t = y - y 0 v B / T - y = 400 m 99,4 m / m i n = 4,02 m i n

    Bora continuar!

    Passo 7

  5. Você viaja de A a C, a uma distância de:
  6. 400 m 2 + 75 m 2 = 407 m

    Legal?

    Passo 8

  7. E a velocidade escalar do seu barco, conforme medido por um observador parado na margem do rio é:

v B / T = ( v B / T - x   ) 2 + ( v B / T - y ) 2 = 101 m / m i n

Observe que v B / T t = 406 m , a distância percorrida (além de uma pequena diferença devido ao arredondamento).

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

  1. Você aterrissará 120 m a leste do ponto B, que fica a 45 m a leste do ponto C. A distância que você percorreu é 418 m ;
  2. Você pousará 197 m rio abaixo de B, então 122 m a rio abaixo de C;
  1. θ = 17,15 °
  2. t = 4,02 m i n
  3. 407 m
  4. v B / T = 101 m / m i n
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