Enunciado

Uma barra delgada de comprimento L possui massa por unidade de comprimento variando a partir da extremidade esquerda, onde x = O, de acordo com dm/dx = gama x, onde gama é constante com unidades de kg/m^2.

  1. Calcule a massa total da barra em termos de gama e de L
  2. Use a equação (9.20) para calcular o momento de inércia da barra em relação a um eixo perpendicular à barra e passando pela sua extremidade esquerda. Use a relação encontrada na parte (a) para obter a expressão de / em termos de M e de L. Como seu resultado se compara com o obtido para uma barra delgada uniforme? Explique essa comparação.
  3. Repita o procedimento da parte (b) para um eixo passando pela extremidade da barra. Como seu resultado se compara com o obtido nas partes (b) e (c)? Explique esse resultado.

Passo 1

Oi oi gente, tudo bem com vocês?

Vamos fazer essa questão aqui juntos?

Vem comigo e vamos passo a passo!!!

Para este caso temos d m = γ d x

Letra a:

M = ∫ d m = ∫ 0 2   γ x d x = γ x 2 2 0 2 = γ L 2 2

Passo 2

Letra b:

I = ∫ 0 2   x 2 γ x d x = γ x 4 4 0 2 = γ L 4 4 = M 2 L 2

Isto é maior que o momento de inércia de uma corda uniforme de mesma massa e comprimento, visto que a densidade de massa é bem maior longe do eixo que quando mais próximo dele.

Passo 3

Letra c:

I = ∫ 0 t   ( L - x ) 2 γ x d x = γ ∫ 0 2   L 2 x - 2 L x 2 + x 3 d x = γ L 2 x 2 2 - 2 L x 3 3 + x 4 4 0 2 = γ L 4 12 = M 6 L 2 .

Este é um terço do resultado encontrado na parte (b), refletindo o fato de que mais massa está concentrada no final.

Resposta

  1. γ L 2 2
  2. M 2 L 2
  3. M 6 L 2

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