Enunciado

Um bloco de 1,0   k g (massa m ) e um segundo bloco (massa M ) estão inicialmente em repouso sobre um plano inclinado sem atrito. (Figura 8-56). A massa M está apoiada sobre uma mola com constante de força igual a 11,0   k N / m . A distância ao longo do plano entre os dois blocos é 4,00   m . O bloco de 1,0   k g é largado, sofrendo uma colisão elástica com o bloco maior. O bloco de 1,0   k g é rebatido, então subindo até uma distância de 2,56   m ao longo do plano inclinado. O bloco de massa M atinge um repouso momentâneo a 4,00   c m de sua posição inicial. Determine M .

Passo 1

Oi, pessoal, tudo bem? Ele dá muita informação para gente né? Vamos começar organizando.

Temos que m = 1   k g e queremos saber quando vale M .

Inicialmente todo mundo está em repouso. Então se v m 0 for a velocidade inicial do bloco de massa m e v M 0 a velocidade inicial do bloco de massa M , vamos ter:

v M 0 = 0

v m 0 = 0

E a distância entre eles é 4   m no plano inclinado. Usando trigonometria a gente consegue descobrir a altura inicial do bloco de massa m em relação a altura de M :

s e n   30 ° = h m 0 4 → h m 0 = 4   s e n   30 °

O bloco de massa m é largado e colide elasticamente com o bloco maior. Se a colisão é elástica, a gente pode dizer que houve conservação de energia.

Aí temos uma segunda situação. O bloco menor desce, e aperta o bloco maior contra a mola, que fica com uma deformação adicional de x = 4   c m = 0,04   m . Nesse momento ambos estão em repouso. Então temos

v m 1 = 0

v M 1 = 0

E depois o bloco de massa m sobe a uma distância de 2,56   m no plano inclinado. Aí a altura dele em relação ao bloco maior fica sendo

h m 2 = 2,56   s e n   30 °

Usamos o mesmo raciociocínio aqui que usamos para achar h m 0 . E como essa é altura máxima do bloco depois da colisão, temos v m 2 = 0 .

E mais umas informações adicionais: não temos atrito e a constante da mola é k = 11,0 k N / m = 11 × 10 3   N / m .

Agora vamos ver como achar M a partir dessas situações. Bora!

Passo 2

Cara, uma coisa boa que a gente pode fazer é entender o que aconteceu com a energia desses blocos.

Porque como a energia do movimento se conserva por ser uma colisão elástica, o que acontece é que vai haver uma troca de energias. Aí a gente pode usar a equação da conservação de energia.

Bem, inicialmente o bloco de massa m tinha uma altura, mas no final na altura dele é menor. Então ele perdeu uma altura Δ h m = h m 2 - h m 0 , que é o mesmo que perder energia potencial gravitacional dada por

Δ U g m = m g Δ h m

Δ U g m = m g h m 2 - h m 0

(já que a energia potencial gravitacional é dada por U g = m g h )

Como h m 2 é menor que h m 0 , essa variação de energia é negativa, o que caracteriza uma perda, né?

E como as velocidades inicial e final do bloco são nulas, não teve variação de energia cinética.

Passo 3

Agora vamos pensar no que aconteceu com o bloco maior de massa M . Inicialmente ele estava paradão. Aí na colisão ele recebeu a energia perdida pelo bloco m . O que essa energia fez com ele?

Bem, essa energia foi capaz de aumentar a deformação da mola de x = 0,04   m . E isso gera um aumento de energia potencial elástica do bloco M de

Δ U e l M = k x 2 2

(positiva porque é aumento de energia)

Maaas, como a mola deforma x , o bloco desce essa distância no plano inclinado, então há aí uma perda energia potencial gravitacional também. A perda de altura dada pelo movimento de x na rampa vai ser

Δ h M = - x   s e n   30 °

(mesmo raciocício de achar h m 0 , tá?)

E essa perda de altura causa uma perda de energia potencial gravitacional:

Δ U g M = M g Δ h M

Δ U g M = - M g x   s e n   30 °

Percebe que o sinal de negativo da perda vem exatamente da variação negativa de altura.

E novamente não temos variação de energia cinética porque o bloco fica em repouso na posição de deformação nova da mola.

Passo 4

A conservação de energia do sistema diz que a energia total do sistema não muda. Então a variação de energia no sistema é nula.

Δ E = 0

Só que essa variação é a soma de todas as variações que a gente achou:

∆ U g M + Δ U g m + ∆ U e l M = 0

Substituindo a expressão de cada uma, temos:

- M g x   s e n   30 ° + k x 2 2 + m g h m 2 - h m 0 = 0

Resolvendo para M , temos:

M = k x 2 2 + m g h m 2 - h m 0 g x s e n ⁡ 30 °

Substituindo os dados:

M = 11 × 10 3 × 0,04 2 2 + 1 9,8 2,56   s e n   30 ° - 4   s e n   30 ° 9,8 × 0,04 sen ⁡ 30 °

M = 8,9   k g

Resposta

M = 8,9   k g

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