Enunciado

Um bloco de 3,0   K g está viajando para a direita (sentido + x ) a 5,0   m / s , e um segundo bloco de 3,0   K g está viajando para a esquerda a   2,0   m / s .

( a ) Determine a energia cinética total dos dois blocos.

( b ) Determine a velocidade do centro de massa do sistema de dois blocos.

( c ) Determine a velocidade de cada bloco em relação ao centro de massa.

( d ) Determine a energia cinética dos blocos em relação ao centro de massa.

( e ) Mostre que a resposta para a parte ( a ) é maior do que a resposta da parte ( d ) por uma quantidade igual à energia cinética associada ao movimento do centro de massa.

Passo 1

Olá, querido! Cê está bem?

Temos dois blocos viajando com velocidades contrárias. Primeiro, vamos definir como o sentido positivo do eixo x para a direita.

Agora podemos entrar nos itens e responder cada um. Bora lá!

Passo 2

( a ) A energia cinética total do sistema K   é a soma das energias cinéticas de cada bloco:

K =   K 1 +   K 2

Aí a gente substitui a expressão da energia cinética para cada caso:

K = 1 2 m 1 v 1 2 + 1 2 m 2 v 2 2

Substituindo as variáveis pelos correspondentes valores numéricos:

K = 1 2 3,0   K g 5,0 m / s 2 + 1 2 ( 3,0   k g ) ( 2,0 m / s ) 2 = 43,5   J

Passo 3

( b ) A gente quer a velocidade do centro de massa do sistema formado pelos dois blocos. Como não há menção de forças externas sobre eles, a gente pode usar a lei da conservação de quantidade de movimento:

∑ m i v → i = v → c m M

Onde M é a massa total do sistema, ou seja, a soma das massas de cada bloco:

M = m 1 + m 2     i

∑ m i v → i representa a soma das quantidades de movimento de cada bloco. A quantidade de movimento é dada por p → = m v → , então essa soma para o nosso caso fica:

∑ m i v → i = m 1 v → 1 + m 2 v → 2     i i

E v → c m é a velocidade do centro de massa do sistema que gente quer achar. Então vamos substituir i e i i na lei da conservação:

∑ m i v → i = v → c m M

m 1 v → 1 +   m 2 v → 2 = ( m 1 + m 2 ) v → c m

Isolando v → c m

v → c m =   m 1 v → 1 +   m 2 v → 2 ( m 1 + m 2 )

e substituindo os valores numéricos na equação acima (lembrando que a v → 2 é negativo porque viaja no sentido contrário ao eixo positivo):

v → c m =   3,0   k g 5,0 m / s i ^ + ( 3,0   k g ) ( - 2,0 m / s ) i ^ 3,0   k g + 3,0   k g = ( 1,5 m / s ) i ^

Obs: estamos trabalhando com as velocidades como grandezas vetoriais, por isso a gente coloca esse vetor unitário i ^ , já que nosso movimento está acontecendo na direção x ;

Passo 4

( c ) Ele quer uma velocidade relativa. A velocidade relativa de um bloco em relação ao centro de massa.

Para achar uma velocidade relativa, a gente monta a equação de velocidade relativa. Para o nosso caso fica:

v → b l o c o = v → r e l + v → c m

E o que ela quer dizer? Quer dizer que a velocidade do bloco em relação ao solo v → b l o c o   é igual a soma da velocidade do bloco relativa ao centro de massa do sistema v → r e l com a velocidade do centro de massa em relação ao solo v → c m .

Aí para achar a velocidade relativa de um bloco em relação ao centro de massa, a gente precisa isolar v → b l o c o da nossa equação:

v → r e l =   v → b l o c o - v → c m

Temos a velocidade de cada bloco e a do centro de massa. Vamos então substituir os valores numéricos para cada bloco, de modo que possamos obter a velocidade relativa de cada um deles:

v → 1 , r e l =   v → 1 - v → c m

v → 1 , r e l = 5,0 m / s i ^ - 1,5 m / s i ^

v → 1 , r e l = ( 3,5 m / s )

Para o segundo bloco:

v → 2 , r e l =   v → 2 - v → c m

v → 2 , r e l = - 2,0 m / s i ^ - 1,5 m / s i ^

v → 2 , r e l = ( - 3,5 m / s )

Passo 5

( d ) Ele quer a energia cinética dos blocos em relação ao centro de massa. Então o que a gente vai fazer é calcular a energia cinética de cada bloco e somar.

Só que como a gente quer a energia em relação ao centro de massa, vamos usar as velocidades relativas ao centro de massa que a gente calculou no item anterior. Fica assim:

K r e l =   K 1 , r e l +   K 2 , r e l

K r e l = 1 2 m 1 v 1 , r e l 2 + 1 2 m 2 v 2 , r e l 2

Substituindo os valores numéricos e calculando K r e l :

K r e l = 1 2 ( 3,0   k g ) ( 3,5 m / s ) 2 + 1 2 ( 3,0   k g ) ( - 3,5 m / s ) 2 =   37   J

Passo 6

( e ) A energia cinética do centro de massa ( K c m ) é dada por:

K c m =   1 2 m t o t a l v c m 2

Ou seja, a gente usa a fórmulinha da energia cinética, mas a massa vai ser a massa total do sistema e a velocidade é a velocidade do centro de massa.

Substituindo os valores numéricos e calculando K c m :

K c m =   1 2 3.0   k g + 3,0 k g 1,5 m / s 2 = 6,75   J

A energia cinética do centro de massa K c m é igual a diferença entre as energias obtidas nas letras ( a ) e ( d ) , como vemos no cálculo abaixo:

K -   K r e l = 43,5   J - 36,75   J

K -   K r e l = 6,75   J

E isso era o que ele queria que a gente provasse!

Resposta

( a ) K = 43,5   J  

b v → c m = ( 1,5 m / s ) i ^  

( c ) v → 1 . r e l = 3,5   m / s (para a direita) e v → 2 . r e l = - 3,5   m / s (para a esquerda)

( d ) K r e l =   37   J  

( e ) K c m = 6,75   J  

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