Enunciado

O bloco de 4,0   k g da Figura 5.78 está preso a um eixo vertical por meio de dois fios. Quando o sistema gira em torno desse eixo, os fios ficam dispostos como indicado no diagrama e a tensão no fio superior é de 80,0   N .

a) Qual é a tensão no fio inferior?

b) Quantas revoluções por minuto o sistema executa?

c) Ache o número de revoluções por minuto para que o fio inferior comece a ficar frouxo.

( c ) .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte figura que mostra um bloco preso a um eixo vertical por meio de dois fios:

Quando o sistema gira em torno desse eixo, os fios ficam dispostos como indicado no diagrama e a tensão no fio superior é de 80,0   N .

A questão nos faz várias perguntinhas sobre forças e revoluções.

Para isso, utilizaremos a segunda Lei de Newton:

∑ F = m a

Onde ∑ F é a força resultante, m é a massa e a é a aceleração.

Também devemos saber que a força centrípeta F c p é dada por:

F c p = m v 2 R

Onde v é a velocidade e R é o raio.

Passo 2

Queremos calcular a tensão no fio inferior.

Para identificar qual é a tensão no fio inferior, vamos a diagrama de forças para o bloco de massa m = 4 k g :

Na vertical o sistema está em equilíbrio e a tensão superior T s u p = 80 N . O ângulo da força tensora com o eixo vertical é o mesmo tanto pra cima, quanto pra baixo.

Vamos descobrir ele. Temos a hipotenusa e o cateto oposto, então pela função cosseno determinar o ângulo:

s e n θ = 1 1,25

θ = 53,13 °

Passo 3

Agora equacionando as forças na vertical teremos:

T s u p c o s θ - T i n f c o s θ - m g = 0

Como temos o valor da tensão superior, do ângulo θ e da massa, podemos determinar a tensão no fio inferior:

80 cos ⁡ 53,13 ° - T i n f cos ⁡ 53,13 ° - 4.9,8 = 0

T i n f cos ⁡ 53,13 ° = 80 cos ⁡ 53,13 ° - 39,2

T i n f = 14,67 N

Passo 4

Para determinar quantas revoluções o sistema dá por segundo, vamos olhar para as forças na horizontal:

T s u p s e n θ + T i n f s e n θ = m v 2 R

O raio da trajetória não foi dado, mas por Pitágoras podemos determinar:

1,25 2 = 1 2 + R 2

R = 1,25 2 - 1 = 0,75

E como sabemos as tensões nos fios, podemos determinar a velocidade do sistema:

80 sen ⁡ 53,13 ° + 14,67 s e n 53,13 ° = 4 v 2 0,75

v 2 = 0,75 80 + 31 s e n 53,13 ° 4 = 14,2

v = 14,2 = 3,77 m / s

Passo 5

E para determinar o número de revoluções por segundo é só dividir a velocidade por 2 π R :

v = 2 π f

v 2 π R = f = 3,77 2 π 0,75 = 0,8   r e v / s

E para saber por minuto é só multiplicar por 60 :

0,8 r e v s = 48 r e v m i n

Passo 6

Quando o fio inferior fica solto, T i n f → 0 , então o balanço de forças na vertical fica assim:

T s u p c o s θ = m g

E a nova tensão superior pode ser calculada:

T s u p = 4.9,8 c o s ( 53,13 ° ) = 65,33 N

E com isso podemos, da equação de forças na horizontal, determinar a nova velocidade linear do conjunto:

T s u p s e n θ = m v 2 R

v = R T s u p s e n θ m = 0,75.65,33 . s e n 53,13 ° 4 = 3,13 m / s

E da mesma forma que no item anterior, podemos determinar quantas revoluções por segundo o sistema irá fazer:

48 r e v m i n   . 3,13   m / s 3,77   m / s = 39,9 r e v m i n

Passo 7

A tensão na corda superior deve ser maior do que a tensão na corda inferior para que juntos eles produzem uma componente da força resultante vertical para cima para poder contrabalançar a força peso.

Se for menor, o bloco irá cair.

Resposta

a )   T i n f = 14,67 N

b )   48 r e v m i n

c )   39,9 r e v m i n

d ) A   t e n s ã o   n a   c o r d a   s u p e r i o r   d e v e   s e r   m a i o r   d o   q u e   a   t e n s ã o   n a   c o r d a   i n f e r i o r ,

  p a r a   q u e   j u n t o s   e l e s   p r o d u z e m   u m a   c o m p o n e n t e   d a   f o r ç a   r e s u l t a n t e   v e r t i c a l   p a r a   c i m a   p a r a  

p o d e r   c o n t r a b a l a n ç a r   a   f o r ç a   p e s o  

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