Enunciado

O bloco A da Fig. 6-33 pesa 102   N e o bloco B pesa 32   N . Os coeficientes de atrito entre A e a rampa são μ s = 0,56 e μ k = 0,25 . O ângulo θ é igual a 40 ° . Suponha que o eixo x é paralelo à rampa, com o sentido positivo para cima. Em termos dos vetores unitários, qual é a aceleração de A se A está inicialmente (a) em repouso, (b) subindo a rampa e (c) descendo a rampa?

Passo 1

Belezera pessoal, vamos iniciar essa questão fazendo o diagrama de corpo livre dos dois blocos, partindo da primeira suposição que ambos permanecem em repouso. Sendo assim:

Onde T representa a tração na corda, N A e P A são as forças normal e peso do bloco A respectivamente, enquanto P B é a força peso do bloco B . Já a força f é a força de atrito que atua sobre o bloco A .

Passo 2

Como estamos supondo que os blocos permanecem em repouso, quer dizer que tração no fio que atua sobre o bloco B é grande o suficiente para manter o bloco B para no ar, tal que:

T - P B = 0

T = P B

Já para o bloco A , a tração T também tem que ser grande o suficiente para manter o bloc B em repouso, de forma que o somatório das forças no eixo da rampa tem que ser nulo:

T - f - P A sin ⁡ θ = 0

Então como T = P B :

P B - f - P A sin ⁡ θ = 0

Isolando f e substituindo os valores dado na questão:

f = P B - P A sin ⁡ θ

Logo:

f = 32 - 102 sin ⁡ 40 °

f = - 33,6   N

Portanto a força de atrito que mantém os blocos em repouso, possui magnitude f = 33,6   N .

Passo 3

Mas agora a gente pode calcular a magnitude da força de atrito estático, dada por:

f s m á x = μ s N

Pra isso, podemos lembrar que a força normal que atua sobre o bloco A é dada como:

N = P A cos ⁡ θ

Sendo assim:

f s m á x = μ s P A cos ⁡ θ

Portanto, a força de atrito estático máximo, será:

f s m á x = 0,56 × 102 cos ⁡ 40 °

f s m á x = 43,7   N

E sendo assim, podemos perceber que o módulo da força de atrito estático que atua sobre o bloco A é superior ao módulo de atrito cinético que estaria atuando sobre o bloco A em caso de inicio de algum movimento. Senso assim, o sistema naõ entra em movimento, os corpos esão em repouso com aceleração nula:

a → = 0

Passo 4

Quando estamos considerando o bloco A subindo a rampa, precisamos lembrar que a força de atrito é sempre contrária ao movimento e, portanto, ela apontará para baixo do plano inclinado. Além disso, como o bloco está em movimento, estamos tratando agora da força de atrito cinético que pode ser calculada por:

f k = μ k N

Só que agora, no eixo da rampa temos que o corpo entrará em movimento, afinal ele está subindo a rampa. Dessa maneira, temos que o somatório das forças que atuam nesse eixo não pode ser nula, nos dando uma celeração resultante a , tal que;

T - f k - P A sin ⁡ θ = m A a

O mesmo acontece para o bloco B , só que ao contrário do bloco A , sua aceleração pe negativa, afinal ele vai estra caindo, de maneira que o somatória das força será:

T - P B = - m B a

T = P B - m B a

Substituindo na equação da rampa:

P B - m B a + f k - P A sin ⁡ θ = m A a

P B - m B a + μ k N - P A sin ⁡ θ = m A a

Logo:

P B - m B a + μ k P A cos ⁡ θ - P A sin ⁡ θ = m A a

Isolando a :

a = P B - μ k P A cos ⁡ θ - P A sin ⁡ θ m A + m B

Lembrando que podemos obter as massas de cada bloco, dividindo a força peso pela gravida, sendo assim, temos que:

a = P B - μ k P A cos ⁡ θ - P A sin ⁡ θ P A g + P B g

Logo:

a = 32 - 0,25 × 102 × cos ⁡ 40 ° - 102 × sin ⁡ 40 ° 102 9,8 + 32 9,8

a = - 3,9   m/ s 2

Portanto, como medimos a aceleração do bloco A que se movimenta apenas no eixo x , teremos que:

a → = - 3,9 i ^   m/ s 2

Mas caso fosse expressar a aceleração do bloco B , ela teria a mesma magnitude, só que com sentido e eixo trocados.

Passo 5

Note que fizemos tudo no passo anterior até a equação da aceleração de maneira algébrica. Dessa forma, ao pensarmos no bloco A descendo, somente a força de atrito vai mudar de sentido e vai passar a apontar para cima do plano inclinado, as demais forças permanecerão onde estão. Assim, podemos aproveitar a e q . 12 trocando o sinal da força de atrito:

a = P B + μ k P A cos ⁡ θ - P A sin ⁡ θ m A + m B

Sendo assim:

a = 32 + 0,25 × 102 × cos ⁡ 40 ° - 102 × sin ⁡ 40 ° 32 + 102 9,8

a = - 1,03   m/ s 2

a → = - 1,03 i ^   m/ s 2

Mas ai tu me pergunta, poxa quando o bloco subia e quando o bloco descia a aceleração era negativa, comassim?!?!?!

Mas calma lá jovem mancebo, porque isso quer dizer apenas que quando ele subia a rampa sua velocidade era positiva, e quando ele descia sua velocidade era negativa, mas em ambos os caso nós tínhamos a força peso do bloco A puxando ele para baixo da rampa, ela sempre foi a maior força atuando sobre o sistema. De maneira que por mais que sua velocidade começasse positiva ou negativa, a aceleração que essa força pessoa gerava, sempre iria fazer o bloco A voltar a descer a rampa!!

a → = - 1,03 i ^   m / s 2

Resposta

  1. a → = 0 ;
  2. a → = - 3,90 i ^   m/ s 2 ;
  3. a → = - 1,03 i ^   m/ s 2 .
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