Enunciado

Um bloco de 1   k g , ligado a uma parede vertical por uma mola de massa desprezível e constante elástica 100   N / m , inicialmente relaxada, pode deslocar-se sobre uma superfície horizontal com coeficiente de atrito (estático e cinético) μ = 0,25 . No instante t = 0 , o bloco é deslocado de 24,5   c m para a direita e solto a partir do repouso. Descreva o movimento subsequente. Observação: Como a força de atrito tem sinal oposto ao da velocidade, é preciso tratar separadamente cada semiperiodo de oscilação.

Passo 1

A força de atrito contra a superfície vai agir como uma força de amortecimento, que vai reduzir a amplitude do oscilador.

Mas a frequência de oscilação não é afetada, e então podemos usar a mesma fórmula de sempre:

ω = k m = 100 1 = 10   r a d / s

E então o período de oscilação é:

τ = 2 π ω = 2 π 10 ≅ 0,63   s

Ok, esse é o primeiro passo para descrever o movimento. Agora vamos procurar uma relação que dê a amplitude.

Passo 2

Vamos fazer um desenho que ilustre como a amplitude varia com o tempo:

Na figura de cima, quando o bloco está na extremidade do movimento, a energia total do sistema é:

E n = k A n 2 2

E a mesma fórmula vale para a figura de baixo:

E n + 1 = k A n + 1 2 2

Mas se A n + 1 < A n , então E n + 1 < E n . Para onde foi essa energia? Foi dissipada pela força de atrito:

E n = E n + 1 + E a t r i t o

Como podemos calcular essa energia? Bom, vamos usar a fórmula de sempre para o trabalho de uma força:

E a t r i t o = F a t d

A força é dada por μ N = μ m g , e o deslocamento total é a soma das duas amplitudes, então:

E a t r i t o = μ m g A n + A n + 1

Então ficamos com a seguinte fórmula:

E n = E n + 1 + E a t r i t o

k A n 2 2 = k A n + 1 2 2 + μ m g A n + A n + 1

Passo 3

Essa é uma equação de segundo grau, e nós podemos resolvê-la para encontrar A n + 1 :

k 2 A n + 1 2 + μ m g A n + 1 + μ m g A n - k A n 2 2 = 0

E pela fórmula de Bhaskara:

A n + 1 = - μ m g ± μ m g 2 - 4 k 2 μ m g A n - k A n 2 2 k

A n + 1 = μ m g ± μ m g 2 - 2 k μ m g A n + k 2 A n 2 k

A n + 1 = - μ m g ± k A n - μ m g 2 k

A n + 1 = - μ m g ± ( k A n - μ m g ) k

E aqui só faz sentido tomar um sinal negativo, então:

A n + 1 = A n - 2 μ m g k

Então a redução Δ A na amplitude a cada oscilação é:

Δ A = 2 μ m g k = 2 0,25 1 9,81 100 ≅ 4,9   c m

Passo 4

Beleza, então até agora sabemos o seguinte: temos um movimento com período de 0,63   s com uma amplitude que diminui em 4,9   c m a cada semiperíodo.

O enunciado diz que a amplitude inicial é A 0 = 24,5   c m , então se n é o número de semi-períodos que o bloco realiza até parar, então:

n = 24,5 4,9 = 5

Resposta

O bloco oscila com período de 0,63   s , e a amplitude diminui em 4,9   c m a cada semiperíodo. Para uma amplitude inicial de 24,5   c m , então o bloco para após 5 semiperíodos.

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