Enunciado

45. Desenvolva a equação diferencial do movimento para o sistema mostrado em sua posição de equilíbrio. Despreze a massa do elemento de ligação A B e admita pequenas oscilações.

Passo 1

Bom, primeiro a gente vai montar um diagrama de forças para o sistema:

Aqui, teremos a seguinte relação:

x b = x A a

∴ x A = a b x

E se derivarmos em relação ao tempo uma vez:

d d t x A = d d t a b x

∴ x ˙ A = a b x ˙

Derivando mais uma vez:

d d t x ˙ A = d d t a b x ˙

∴ x ¨ A = a b x ¨

Passo 2

Agora, faremos o somatório de forças no eixo x para cada massa:

↑ + ∑ F x = m x ¨

Onde x ¨ é a aceleração

- k x - T B = m 1 x ¨   ( M a s s a   m 1 )

Aqui, k é a constante da mola

T A - c x ˙ A = m 2 x ¨ A   ( M a s s a   m 2 )

Já aqui, c é a constante do amortecedor

Passo 3

Calcularemos o somatório de momentos em relação ao ponto O :

↷ + ∑ M O = 0

T B ⋅ b - T A ⋅ a = 0

T B ⋅ b = T A ⋅ a

∴ T B = a b T A

Passo 4

Isolaremos T B da equação dinâmica de m 1 :

T B = - m 1 x ¨ - k x

a b T A = - m 1 x ¨ - k x

∴ T A = b a - m 1 x ¨ - k x

Substituiremos T A na equação dinâmica de m 2 :

b a - m 1 x ¨ - k x - c x ˙ A = m 2 x ¨ A

Substituindo x ˙ A por a b x ˙ e x ¨ A por a b x ¨ e:

b a - m 1 x ¨ - k x - c a b x ˙ = m 2 a b x ¨

- m 1 x ¨ - k x - a 2 b 2 ⋅ c x ˙ = a 2 b 2 ⋅ m 2 x ¨

Rearranjando a equação:

m 1 + a 2 b 2 m 2 x ¨ + a 2 b 2 ⋅ c x ˙ + k x = 0

Resposta

A equação diferencial de movimento do sistema é:

m 1 + a 2 b 2 m 2 x ¨ + a 2 b 2 ⋅ c x ˙ + k x = 0

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