Enunciado

Um bloco de massa m = 2,00 kg é preso a uma mola com constante elástica k   =   500   N / m , como mostrado na Figura P7.15. O bloco é puxado para uma posição x i   =   5,00 cm para a direita do equilíbrio e solto do repouso. Encontre a velocidade que o bloco tem enquanto passa pelo equilíbrio se (a) a superfície horizontal não tem atrito e (b) o coeficiente de atrito entre bloco e superfície é μ k   =   0,350 .

Passo 1

Aqui então a gente vai avaliar o caso em duas situações: uma sem dissipação de energia, outra com dissipação de energia devida ao atrito.

(a)Aqui, considerando o princípio da conservação da energia, sem dissipação por atrito, a gente vê que a energia potencial elástica da mola vai se converter totalmente em energia cinética pro bloco.

Escrevendo isso matematicamente, a gente tem:

U e m o l a = K ( b l o c o )

k ∙ ∆ x 2 2 = m ∙ v 2 2

Dá pra gente simplificar os denominadores, né? Ficamos assim então:

k ∙ ∆ x 2 = m ∙ v 2

Aplicando os dados do enunciado, a gente determina v (cuidado com as unidades, todas no sistema internacional!):

v 2 = k ∙ ∆ x 2 m = 500 ∙ 0,05 2 2,00 = 0,625

∴ v = 0,625 ≅ 0,791   m / s

Então, sem atrito, o bloco tem essa velocidade ao passar no ponto de repouso da mola!

Passo 2

(b)Agora, gente, considerando o atrito, uma parte da energia potencial elástica da mola, quando o bloco for liberado, vai ser transformada em calor, pelo atrito, em vez de se transformar 100% em energia cinética pro bloco, sacou?

Então, agora, gente reescreve a primeira expressãozinha do Passo 1 considerando o trabalho do atrito, W a t , assim:

U e m o l a - W a t = K ( b l o c o )

Matematicamente, a gente vai ter:

k ∙ ∆ x 2 2 - F a t ∙ d = m ∙ v 2 2

Onde W a t = F a t ∙ d , sendo F a t e d , respectivamente, a força de atrito e o deslocamento!

A gente sabe lá da dinâmica (leis de Newton) que F a t = μ ∙ N , e que quando estamos avaliando o deslocamento de um corpo na horizontal, a força normal é equivalente à força peso, sendo assim N = m ∙ g , correto?

Então, reescrevemos nossa última equação assim:

k ∙ ∆ x 2 2 - μ ∙ m ∙ g ∙ d = m ∙ v 2 2

Aqui, a gente quer também a velocidade, certo? Vamos isolar v 2 de todo mundo, fazendo ajustes matemáticos básicos!

Comecemos por multiplicar ambos os lados da igualdade por 2 e sumimos com os denominadores:

k ∙ ∆ x 2 - 2 ∙ μ ∙ m ∙ g ∙ d = m ∙ v 2

Agora, passamos m pro outro lado, isolando v 2 :

v 2 = k ∙ ∆ x 2 - 2 ∙ μ ∙ m ∙ g ∙ d m

E é isso, gente! Considerando g = 10   m / s 2 , agora é só aplicar os dados que a gente tem, cuidando das unidades, ficando com o seguinte:

v 2 = 500 ∙ 0,05 2 - 2 ∙ 0,350 ∙ 2,00 ∙ 10 ∙ 0,05 2,00 = 0,275

∴ v = 0 , 275 ≅ 0 , 524   m / s

Repara que, agora, a velocidade é menor, já que houve perda de energia pelo atrito. Isso é bem razoável, já que, senão, o bloco teria mais velocidade, como a gente viu, sem atrito!

Resposta

(a) v = 0,791   m / s

(b) v = 0,524   m / s

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