Enunciado

72. Um bloco de massa igual a 0,200   k g está submetido a uma força restauradora elástica e a constante da força é igual a 10,0   N / m . a ) Faça um gráfico da energia potencial U em função do deslocamento x no intervalo de x = - 0,300   m até x = + 0,300   m . Em seu gráfico, adote a escala 1   c m = 0,05   J no eixo vertical e 1   c m = 0,05   m no eixo horizontal. O bloco inicia o movimento oscilatório com uma energia potencial igual a 0,140   J e uma energia cinética igual a 0,060   J . Examinando o gráfico, responda às perguntas seguintes. b ) Qual é a amplitude da oscilação? c ) Qual é a energia potencial quando o deslocamento é igual a metade da amplitude? d ) Para qual deslocamento a energia potencial é igual a igual a energia cinética? e ) Qual é o valor do ângulo de fase ϕ , sabendo que a velocidade inicial é positiva e o deslocamento inicial é negativo?

Passo 1

Para resolver o que o enunciado quer saber, precisamos fazer o gráfico que é pedido no item ( a ) primeiro, então abaixo temos o gráfico o gráfico pedido.

O enunciado nos diz que inicialmente temos que U = 0,140 e K = 0,060 , assim a energia mecânica inicial é dada por:

E = K + U

= 0,060 + 0,140

= 0,2   J

E como a energia mecânica se conserva temos esse valor a todo momento no movimento.

Passo 2

Para achar a amplitude olhando o gráfico como é pedido no enunciado, temos que nos atentar a algumas coisas.

A energia total também pode ser achada da seguinte maneira:

E = 1 2 k A 2

Que também é igual a energia potencial máxima que ocorre na amplitude, já que não temos energia cinética na amplitude do movimento.

Então se temos a energia potencial máxima igual a energia mecânica ( U m á x = 0,2   J ) na amplitude, basta olharmos no gráfico em que ponto temos esse valor para U , que no caso é no ponto x = 0,2   m

Passo 3

Quando o deslocamento é igual a metade da amplitude ( A = 0,2   m ) , temos um deslocamento

x = 0,1

Olhando no gráfico, vemos que a energia potencial nesse ponto é de 0,05   J .

Passo 4

Agora temos que achar o deslocamento para o caso que U = K , se temos E = 0,2   J e sabendo que:

E = U + K

Assim:

U + K = 0,2

⇒ U = K = 0,1

Agora temos que olhar no gráfico o ponto que isso acontece, só que no gráfico que o enunciado pediu não da para ter uma noção clara em que ponto isso acontece, assim temos que partir para álgebra.

Sabemos que:

U = 1 2 k x 2

E

E = 1 2 k A 2

E queremos o caso que U = 1 2 E , já que a outra metade está na forma de energia cinética, então temos o seguinte:

  U = 1 2 E

⇒ 1 2 k x 2 = 1 4 k A 2

⇒ x 2 = A 2 2

Então temos que:

x = A 2

Como sabemos que A = 0,2   m , temos:

x = 0,2 2

⇒ x = 0,141   m

Passo 5

Para achar o ângulo de fase pedido no item ( e ) o melhor caminho é a álgebra mesmo, onde já temos uma equação ( 13.18 ) para encontrar esse ângulo que é:

ϕ = arctan ⁡ - v 0 ω x 0

Onde v 0 e x 0 , são respectivamente a velocidade inicial e a posição inicial, que podemos achar com as fórmulas da energia cinética e potencial iniciais, respectivamente, já que esses valores são dados, temos então:

K 0 = 1 2 m v 0 2

E

U 0 = 1 2 k x 0 2

Isolando-as nas equações temos:

v 0 = 2 K 0 m

E

x 0 = - 2 U 0 k

A posição é negativa e a velocidade é positiva pois o enunciado pede assim.

Temos também que ω = k / m , agora vamos substituir isso que encontramos a equação para achar ϕ .

Temos:

ϕ = arctan ⁡ - 2 K 0 m k m - 2 U 0 k

Simplificando, temos:

ϕ = arctan ⁡ K 0 U 0

Substituindo K 0 = 0,060   J e U 0 = 0,140   J , temos:

ϕ = arctan ⁡ 0,06 0,14

= arctan ⁡ 0,429

Assim, temos que:

ϕ = 0,58   r a d

Resposta

( a )

( b )

A = 0,2   m

( c )

U = 0,05   J

( d )

x = 0,141   m

( e )

ϕ = 0,58   r a d

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