Enunciado

Um bloco, de masssa m 1 , está apoiado sobre uma superfície horizontal sem atrito. O bloco, que está preso a uma extremidade de uma mola horizontal de constante de força k , oscila com uma amplitude A . Quando a mola está distendida ao máximo e o bloco está instantaneamente em repouso, um segundo bloco, de massa m 2 , é colocado sobre o primeiro. (a) Qual é o menor valor do coeficiente de atrito estático μ e para o qual o segundo bloco não escorrega sobre o primeiro? (b) Explique como a energia mecânica total E , a amplitude A , a frequência angular ω e o período T do sistema são afetados pela colocação de m 2 sobre m 1 , supondo que o coeficiente de atrito seja grande o suficiente para evitar escorregamento.

Passo 1

a) Então, querido, temos uma molinha horizontal oscilando com uma massa. Aí outra massa é colocada sobre ela. Ele quer saber o coeficiente de atrito estático mínimo para essa massinha segunda não deslizar quando a mola oscila.

Para que o segundo bloco não escorregue sobre o primeiro, a força de atrito F a t entre eles tem que ser no mínimo igual a força F associada à aceleração máxima que esse bloco adquire junto ao oscilador.

Vamos imaginar que o bloco está na iminência do deslocamento. Então a força de atrito sobre ele é

F a t = N μ e

Onde N é a força normal desse segundo bloco sobre o primeiro. Mas como estamos num plano horizontal, então N = P , sendo P o peso desse segundo bloco

P = m 2 g

Assim:

F a t = m 2 g μ e

Passo 2

A força associada a aceleração que o bloco 2 ganha ao ser colocado no oscilador é

F = m 2 a

Sendo que a é a aceleração quando a mola ela está distendida no máximo. Então essa aceleração vai ser máxima, porque o deslocamento em relação ao ponto de equilíbrio é máximo (a aceleração é proporcional a esse deslocamento no movimento massa-mola):

F = m 2 a m á x

Igualando F e F a t para não haver deslizamento:

μ e m 2 g = m 2 a m á x

Isolando o coeficiente de atrito que queremos

μ e = a m á x g

Passo 3

Em um oscilador harmônico, nós sabemos que a aceleração máxima é dada por:

a m á x = A ω 2

E a frequência angular do oscilador com as duas massas é:

ω = k M t o t a l = k m 1 + m 2

Substituindo isso na expressão da aceleração máxima

a m á x = A k m 1 + m 2 2

a m á x = A k m 1 + m 2

Portanto, o coeficiente de atrito estático é:

μ e = a m á x g

μ e = A k g ( m 1 + m 2 )

Passo 4

(b) Queremos avaliar as propriedades desse movimento quando essa massa é adicionada ao sistema. Vamos começar analizando a amplitude.

Aí aqui devemos perceber que temos um MHS. Nesse caso, devemos lembrar que a amplitude não depende da massa do sistema. Como isso foi a única coisa que mudou, a amplitude permanece igual.

A energia mecânica se relaciona com a amplitude pela seguinte fórmula:

E = 1 2 k A 2

E então, se A é constante e k é uma propriedade imutável da mola, E deve ser constante também. Então E não muda.

Passo 5

A frequência angular ω depende da massa total que está presa à mola. Para o caso inicial

ω 1 = k m 1

E como a massa aumenta de m 1 para m 1 + m 2 , vamos ter

ω 2 = k m 1 + m 2

Percebe que o denominador de ω 2 é maior que o de ω 1 . Assim, ω 1 > ω 2 . Então a frequência angular vai diminuir.

E o período está relacionado à frequência angular ω pela seguinte expressão:

ω = 2 π T → T = 2 π ω

Então quando ω é reduzido (o denominador da expressão acima diminui), T aumenta.

Resposta

(a) μ e = A k g ( m 1 + m 2 ) .

(b) E e A são constantes, ω é reduzido e T aumenta.

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