Enunciado

Um pêndulo físico consiste em uma bolinha de raio r e massa m suspensa de uma barra rígida de massa desprezíve, como na figura. A distância do centro de massa da bolinha ao ponto de suspensão é L . Quando r é muito menor do que L , um pêndulo como este normalmente é tratado como um pêndulo simples de comprimento L . (a) Mostre que o período para pequenas oscilações é dado por T = T 0 1 + ( 2 r 2 / 5 L 2 ) , onde T 0 = 2 π L / g é o período de um pêndulo simples de comprimento L . (b) Mostre que, quando r é menor do que L , o período pode ser aproximado por T ≅ T 0 ( 1 + r 2 / 5 L 2 ) . (c) Se L = 1,00   m e r = 2,00   c m , determine o erro no valor calculado quando a aproximação T = T 0 é usada para o período. Qual deve ser o raio da bolinha para que o erro seja de 1,00 por cento?

Passo 1

Vamos calcular o período de oscilação desse pêndulo como se fosse um pêndulo físico, e não um pêndulo simples.

A fórmula para o período de um pêndulo físico é a seguinte:

T = 2 π I m g L

Já que L é a distância entre o centro de massa e o ponto que suporta o fio, temos que calcular o momento de inércia I em relação ao mesmo ponto. Pelo teorema dos eixos paralelos:

I = I c m + m L 2

E podemos consultar uma tabela para encontrar o momento de inércia I c m em torno do centro de massa:

I = 2 5 m r 2 + m L 2

Passo 2

(a) Agora vamos substituir isso na fórmula do período e simplificar:

T = 2 π 2 5 m r 2 + m L 2 m g L

T = 2 π 2 5 r 2 + L 2 g L

Vamos colocar L / g em evidência na raiz quadrada, para nos aproximar da expressão que foi dada do enunciado:

T = 2 π L g 2 r 2 5 L 2 + 1    

E sabendo que T 0 = 2 π   L / g :

T = T 0 1 + 2 r 2 5 L 2

Que é exatamente o que queríamos demonstrar.

Passo 3

(b) O que acontece com essa expressão quando r ≪ L ?

T = T 0 1 + 2 r 2 5 L 2

Nesse caso a fração dentro da raiz é menor do que 1 , então podemos aplicar a expansão binomial como boa aproximação. Só para lembrar, essa expansão segue a seguinte fórmula:

x < 1         ⇒           1 + x ≅ 1 + 1 2 x + 1 8 x 2 + …

Para chegar à expressão que foi dada no enunciado, vamos tomar apenas os termos até o primeiro grau (então excluímos tudo do x 2 em diante):

T = T 0 1 + 2 r 2 5 L 2 = T 0   1 + 1 2 2 r 2 5 L 2

E então:

T = T 0 1 + r 2 5 L 2

Passo 4

(c) Agora vamos comparar essa fórmula para T com a aproximação T 0 do pêndulo simples. O erro dessa aproximação é o seguinte:

ϵ = Δ T T = T - T 0 T 0 = T T 0 - 1

ϵ = T 0 1 + r 2 5 L 2 T 0 - 1

ϵ = r 2 5 L 2

E no caso em que r = 0,02   m e L = 1,00   m :

ϵ = 0,02 2 ( 5 ) ( 1,00 ) = 8.10 - 5 = 0,00800 %

Passo 5

Qual deve ser o raio da bolinha para que ϵ = 1,00 % = 0,01 ?

ϵ = r 2 5 L 2

r = 5 L 2 ϵ

r = 5 1,00 2 0,01

r = 0,22   m

Resposta

(a) Demonstração.

(b) Demonstração.

(c) O erro é ϵ = 0,00800 % .

(d) r = 0,22   m para que ϵ = 1,00 % .

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