Enunciado

Uma bola de boliche, de massa M e raio R , é lançada de forma que, ao atingir o piso, está se movendo horizontalmente com um rapidez v 0 , sem girar. Ela desliza uma distância s durante um tempo t antes de começar a rolar sem deslizar. (a) Se μ é o coeficiente de atrito cinético entre a bola e o piso, determine s , t e a rapidez final v da bola. (b) Determine a razão entre a energia cinética final e a energia cinética inicial da bola. (c) Determine s , t e v para v 0 = 8,0 m / s e μ = 0,060 .

Passo 1

a) Oláaa, querido! Cê está bem? O que acontece aqui é que a bola desliza até que a velocidade dela seja v , e nesse instante ela começa a rolar sem deslizar.

Queremos saber o tempo que esse movimento de deslizamento leva, a velocidade v e a distância percorrida. E para achar essas coisas, a gente precisa da aceleração a c m do centro de massa da bola nesse período e a aceleração angular α que ela vai adquirir.

Se precisa achar aceleração e há ação da força de atrito cinético na situação (como o enunciado fala) é maneiro usar a segunda lei de Newton. E falou de usar a segunda lei de Newton, a gente pensa logo em fazer os diagramas de corpo livre da esfera (bola). Fica assim:

Obs: esse exercício é bem parecido com o exemplo 9-19. Se depois quiser ver como o livro resolve, a gente deixa aqui essa dica para te ajudar, tá?

Passo 2

Vamos começar por a c m .

No eixo x , pela segunda lei de Newton:

∑ F x = M a x

- f a t = M a c m

Sendo que f a t = μ F n é a força de atrito cinético entre o piso e a bola:

- μ F n = M a c m

Só que a gente não sabe quem é F n . Vamos achar ela pela 2ª lei de Newton na direção y :

∑ F y = M a y

Como não tem movimento nessa direção, a y = 0 :

F n - F g = 0

F n - M g = 0

F n = M g

Daí substituindo na equação do eixo x :

- μ F n = M a c m

- μ M g = M a c m

a c m = - μ g

Ela é negativa porque vai desacelerar a bola.

Passo 3

Agora vamos achar α para quando a bola começa a girar. Como a aceleração do centro de massa que a gente achou é para o momento com deslizamento, não podemos dizer que a c m = α R .

E como a gente faz então? Cara, a gente pode usar a segunda lei de Newton para a rotação, já que agora estamos com a bola girando.

Ela tem essa cara:

∑ τ = I α

A única força que não passa pelo centro da bola é f a t . Então ela é a única que vai gerar torque. E como f a t e R são perpendiculares, o torque é dado por τ = f a t R :

f a t R = I α

Vimos que f a t = μ M g e I é o momento de inércia de uma esfera em relação a um eixo passa pelo seu centro e vale I = 2 5 M R 2 . Substituindo essas duas coisas:

μ M g R = 2 5 M R 2 α

Isolando quem a gente quer

α = 5 μ g 2 R

Passo 4

Agora a gente pode achar o que ele pede. Como? Bem, v é a velocidade da bola quando ela começa a rolar sem deslizar, certo? Então ela pode ser escrita como:

v = v c m = R ω

Então a gente precisa da rapidez angular da bola. Como a gente tem α , e sabe que a rapidez angular inicial é nula ω 0 = 0 no momento inicial (não temos rolamento em t = 0 ). Podemos usar essa equaçãozinha para achar ω :

ω = ω 0 + α t

ω = 0 + α t

ω = 5 μ g 2 R t

Já que v c m = ω R ,

v c m = 5 μ g 2 R t R = 5 μ g t 2

Mas a gente também pode escrever v c m usando as equações da cinemática linear já que temos a c m . Temos:

v c m = v 0 + a t

Subsituindo a nossa expressão de a c m :

v c m = v 0 - μ g t

Igualando essas duas expressões para v c m :

5 μ g t 2 = v 0 - μ g t

Isolando t

t = 2 v 0 7 μ g

Esse é o tempo do período com deslizamento!

Passo 5

Temos a expressão da velocidade final:

v = v c m = 5 2 μ g t

Substituindo a expressão que a gente achou de t :

v = 5 2 μ g 2 v 0 7 μ g

v = 5 v 0 7

E a distância percorrida pode ser achada por essa equação para aceleração constante:

Δ x = v 0 t + a c m t 2 2

Substituindo nossas expressões para t e a c m :

Δ x = v 0 2 7 μ g + 1 2 - μ g 2 v 0 7 μ g 2

Δ x = 12 v 0 2 49 μ g

Nossa, que trabalheira! Mas calma que não acabou ainda...

Passo 6

b) O momento final é quando a bola começa a rodar sem deslizar. Então nesse instante a bola tem energia cinética dividida em translacional (do movimento linear) e rotacional (porque gira):

K f = K t + K r

Substituindo as expressões de cada uma:

K f = M v 1 2 2 + I ω 2 2

Onde v 1 é a rapidez do centro de massa da bola (que é uma esfera), com que ela se move pelo piso.

E lembra que I é o momento de inércia da esfera (a bola) em relação ao seu centro (eixo de rotação) e vale I = 2 5 M R 2 . E como não há deslizamento, a gente pode escrever a rapidez angular ω usando essa expressão:

v 1 = R ω → ω = v 1 R

Substituindo as nossas expressões de ω e I em K f :

K f = M v 1 2 2 + 2 5 M R 2 v 1 R 2 2

K f = 7 M v 1 2 10 = 5 14 M v 0 2

Passo 7

A energia inicial é quando ela começa a deslizar com velocidade inicial v 0 . A energia cinética nessa situação é só a de translação:

K = 1 2 M v 0 2

Aí a razão entre a energia final e inicial é:

K f K = 5 14 M v 0 2 1 2 M v 0 2

K f K = 5 7

Passo 8

c) Substituindo os valores do enunciado nas expressões encontradas na letra (a):

t = 2 v 0 7 μ g = 2 × 8 7 × 0.06 × 9.81 = 3.88 s

Δ x = 12 v 0 2 49 μ g = 12 × 8 2 49 × 0.06 × 9.81 = 26.62 m

v = 5 v 0 7 = 5.7 m s

Resposta

  1. v = 5 v 0 7 , Δ x = 12 v 0 2 49 μ g , t = 2 v 0 7 μ g
  2. K f K = 5 7
  3. 3.88 s , 26.62 m , 5.7 m / s
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