Exercícios de Energia Cinética de Rotação - Lista de Exercícios Resolvida
Questão 1
Na Fig. 10-36, duas partículas ambas de massa , estão ligadas uma à outra e a um eixo de rotação em por duas barras finas, ambas de comprimento e massa . O conjunto gira em torno do eixo de rotação com velocidade angular . Em relação a , quais são (a) o momento de inércia do conjunto e (b) a energia cinética do conjunto?
Questão 2
Um poste cilindrico, fino e homogêneo de 10 metros de altura é derrubado, a partir da posição vertical. Sua base permanece fixa durante sua queda. Qual a velocidade da ponta do poste quando ele atinge o chão?(Despreze os atritos e dissipações neste caso.)
a)
b)
c)
d)
e)
Dados:
Momento de inércia de uma barra:
Ver solução completaQuestão 3
Calcule o momento de inércia de uma roda que tem uma energia cinética de quando gira a .
Ver solução completaQuestão 4
Um carro tem uma roda de massa e raio com momento de inércia relativo ao seu eixo de rotação que passa pelo seu centro de massa. O carro arranca em movimento retilíneo com a roda patinando na pista de modo que a velocidade de seu centrode massa esteja relacionada com sua velocidade angular de rotação por meio de . Nesse caso, a energia cinética da roda é
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
Questão 5
Uma esfera é lançada rolando sem deslizar subindo um plano inclinado com velocidade inicial do seu centro de massa. Um bloco é lançado subindo em translação um plano inclinado com a mesma inclinação e com a mesma velocidade inicial do seu centro de massa. No plano onde se encontra a esfera há atrito suficiente para que ela permaneça rolando sem deslizar e no plano onde está o bloco não há atrito.
A relação entre a altura máxima que o bloco atinge e a altura máxima que a esfera atinge nos respectivos planos é dada por
(a) , pois tanto a energia cinética do bloco como a da esfera se conserva.
(b) , pois tanto a energia mecânica do bloco como a da esfera se conserva.
(c) , pois o bloco desliza sem atrito.
(d) , pois a esfera rola sem deslizar.
(e) , pois tanto a energia mecânica do bloco como a da esfera se conserva.
Ver solução completaQuestão 6
Um carro tem uma roda de massa e raio com momento de inércia relativo ao seu eixo de rotação que passa pelo seu centro de massa. O carro arranca em movimento retilíneo com a roda patinando na pista de modo que a velocidade de seu centro de massa esteja relacionada com sua velocidade angular de rotação por meio de . Nesse caso, a energia cinética da roda é
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
Questão 7
(Cap 10 – Ex 67) Uma chaminé cilíndrica cai quando a base sofre um abalo. Trate a chaminé como uma barra fina com de comprimento. No instante em que a chaminé faz um ângulo de com a vertical durante a queda, qual é
a) a aceleração radial do topo e
b) a aceleração tangencial do topo? (Sugestão: use considerações de energia e não de torque.)
c) Para que ângulo a aceleração tangencial é igual a ?
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(Cap 11 – Ex 5) Um aro de rola em um piso horizontal de tal forma que o centro de massa tem uma velocidade de . Qual é o trabalho necessário para fazê-lo parar?
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Três partículas de massas , e diferentes movem-se com a mesma velocidade vetorial constante relativas a um dado referencial. Sendo a energia cinética do sistema e a energia cinética do seu centro de massa, relativas a esse referencial inercial, e sua energia cinética relativa ao centro de massa, é correto afirmar que:
- com e ambas diferentes de zero;
- com e ambas diferentes de zero;
- é sempre nula;
- ;
Questão 10
Um disco homogêneo de raio e massa rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal com velocidade angular constante. O momento de inércia deste disco em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa, perpendicularmente ao disco, é igual a . A energia cinética desse disco é
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
Questão 11
Uma esfera de raio e massa rola sem deslizar sobre uma mesa horizontal com velocidade angular constante. Sabendo-se que o momento de inércia de uma esfera segundo um eixo que passa pelo seu centro é , a energia cinética desta esfera é:
Questão 12
(Cap 11 – Ex 8) Na Fig. 11-32, uma bola maciça de latão de massa rola suavemente ao longo do trilho quando é liberada a partir do repouso no trecho retilíneo. A parte circular do trilho tem um raio e a bola tem um raio .
a) Quanto vale se a bola está na iminência de perder contato com o trilho quando chegar ao ponto mais alto da parte curva do trilho?
Se a bola é liberada a uma altura , quais são
b) o módulo e
c) a orientação da componente horizontal da força que age sobre a bola no ponto ?
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Uma roldana maciça e homogênea tem seu eixo central fixo e pode ser solicitada a girar por cordas presas tanto a seu raio interno , quanto a seu raio externo . A roldana sustenta por seu raio interno um corpo de massa , e está atrelada, por seu raio externo, a uma mola de constante elástica . O sistema está inicialmente em repouso com a mola destendida de .
) O sistema é liberado e num determinado instante a distensão da mola vale de . Calcule a variação da altura do corpo desde que o sistema foi liberado até este instante, respondendo se o corpo subiu ou desceu.
) Calcule a velocidade angular da roldanano instante considerado no item . Considere que a variação de altura do corpo é de , que o momento de inércia da roldana vale e
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Um sistema composto por uma haste delgada de massa e comprimento e um aro fino de raio desconhecido e mesma massa é livre para girar em torno do eixo . Determine, fornecendo as respostas com o número de algarismos significativos adequado:
a) O valor de que faz o momento de inércia do aro ser igual ao momento de inércia da haste.
b) Determine a aceleração angular necessária para levar o sistema do repouso até que um ponto na extremidade da haste possua velocidade tangencial em
c) Suponha agora que o momento de inércia do conjunto seja e que ele gire com velocidade angular . Determine o trabalho necessário para levar o sistema ao repouso completo
d) Se o eixo de rotação for movido paralelamente até a extremidade da haste qual o novo momento de inércia do conjunto neste novo eixo?
Dados:
Ver solução completaQuestão 15
Uma haste rígida vertical de massa e comprimento pode girar livremente em torno do eixo horizontal (perpendicular ao papel) que passa por sua extremidade inferior. O momento de inércia da haste em relação ao eixo de rotação é . A haste é liberada a partir do repouso e começa a girar em torno de sua extremidade inferior. Quando passa pela posição vertical invertida, o módulo da velocidade angular da haste é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
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Uma roda de carroça é feita como indicado na figura abaixo. O raio da roda é igual a e possui massa igual a . Cada um dos seus oito aros, distribuídos ao longo de diâmetros, possuem comprimento de e massa igual a . Qual é o momento de inércia da roda em relação a um eixo perpendicular ao plano da roda e passando pelo seu centro?
Questão 17
Duas polias com massas e estão acopladas através de uma correia de massa desprezível, como mostra a figura ao lado. A polia é acelerada a partir do repouso com aceleração angular durante o tempo .
As polias têm raios e , respectivamente, e podem girar sem atrito.
O momento de inércia de uma polia é dado por .
- Calcule as velocidades angulares das polias e no instante de tempo
- Obtenha a fração entre as energias cinéticas das polias e , no instante de tempo .
Questão 18
Um alvo é constituído por uma placa quadrada de madeira vertical com lado igual a e massa de , pivotada em um eixo horizontal situado em seu topo. A placa é atingida frontalmente em seu centro por uma bala de massa igual a que se desloca a e que fica retida no interior da placa.
a) Qual é a velocidade angular da placa logo após o impacto da bala?
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Uma roda com momento de inércia é fixada no seu eixo de simetria e está livre para girar sem atrito. A velocidade angular da roda é aumentada de zero até em um intervalo de tempo . Qual é a potência média da roda durante este intervalo de tempo?
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Um poste cilindrico, fino e homogêneo de 10 metros de altura é derrubado, a partir da posição vertical. Sua base permanece fixa durante sua queda. Qual a velocidade da ponta do poste quando ele atinge o chão?(Despreze os atritos e dissipações neste caso.)
a)
b)
c)
d)
e)
Questão 21
Para um disco de massa e raio , que rola sem deslizar, o que é maior, sua energia cinética translacional ou sua energia cinética de rotação em relação ao centro de massa?
Questão 22
Uma esfera sólida homogênea, de massa e raio , gira com velocidade angular em torno de um eixo que passa pelo seu centro. Um cilindro sólido homogêneo, de massa e raio , gira em torno do seu eixo central, paralelo ao comprimento do cilindro. Responder justificando:
Qual deve ser a velocidade angular do cilindro para que ele tenha a mesma energia cinética rotacional que a esfera?
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Uma barra fina e homogênea de massa e comprimento é liberada na posição horizontal a partir do repouso e gira em torno de um eixo horizontal fixo, perpendicular a ela e que passa por uma de suas extremidades. Sabendo que não há atrito entre a barra e o eixo e que o momento de inércia da barra relativo ao eixo é igual a , podemos afirmar que ao passar pela posição vertical a velocidade do centro de massa da barra é
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
Questão 24
(Capítulo 9.1 – Exercício 30) Uma mesa giratória, girando a , é levada ao repouso em 26 s. Supondo constante a aceleração angular, encontre (a) a aceleração angular. Durante esses , determine (b) a rapidez angular média e (c) o deslocamento angular em número de voltas.
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A figura mostra três discos homogêneos e feitos do mesmo material em rotação em torno de seus eixos de simetria. O ordenamento correto das energias rotacionais dos discos é:
Dados: (cilindro)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
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[ENUNCIADO COMUM ÀS QUESTÕES 5 E 6]
Uma barra delgada de massa e comprimento é mantida na vertical com uma das extremidades apoiada no solo e depois é liberada. A extremidade superior atinge o solo sem que a extremidade de apoio deslize. Considere e que o momento de inércia de uma barra de massa e comprimento em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa é .
[QUESTÃO 6]
Qual é a energia cinética da barra quando ela faz um ângulo com a horizontal?
(a) J
(b) J
(c) J
(d) J
(e) J
(f) J
(g) J
(h) J
(i) J
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Uma bengala delgada de comprimento é constituída de uma haste homogênea de massa e uma pequena esfera de massa de raio desprezível na extremidade. Inicialmente equilibrada na vertical, ela começa a tombar mantendo o ponto de contato com o solo fixo devido ao atrito estático. Considerando a rotação em torno do eixo perpendicular à figura que passa pelo ponto de contato entre a bengala e o solo, determine a velocidade angular da esfera imediatamente antes de colidir com o solo.
a)
b)
c)
d)
e)
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Dois blocos de massas e estão ligados por um fio ideal que passa por uma roldana homogênea, também de massa , e de raio . A roldana é sustentada por um eixo horizontal coincidente com seu eixo geométrico de simetria, como ilustra a figura. Não há atrito entre o eixo e a roldana e o fio não desliza sobre ela. Considere o intervalo de tempo com um instante inicial em que a roldana e os blocos estão em repouso e um instante final em que o bloco mais pesado já desceu uma distância vertical .
Considere como dados e o módulo da aceleração da gravidade. O momento de inércia da roldana relativo ao seu eixo de simetria é . Calcule
a) a variação da energia cinética do sistema constituído pela roldana e os blocos no intervalo de tempo considerado;
b) o módulo da velocidade do bloco mais pesado no instante final;
c) a razão entre a energia cinética de rotação da roldana e a energia cinética total de translação dos dois blocos no instante final.
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Uma roldana maciça e homogênea tem seu eixo central fixo e pode ser solicitada a girar por cordas presas tanto a seu raio interno , quanto a seu raio externo . A peça toda é rígida.
Uma força de módulo constante igual a e direção sempre perpendicular ao raio externo da roldana a acelera desde o repouso até o instante em que sua velocidade angular vale . Durante essa rotaçãoo, o deslocamento angular da roldana é de 3,2 rad. Usando que , calcule o momento de inércia da roldana.
Calcule a potencia instantenea desenvolvida pela força no instante considerado no item .
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Qual é a energia cinética de rotação do sistema de partículas da questão 17 se ele gira a 2,0 rev/s em torno de um eixo perpendicular ao plano e que passa pelo ponto O da figura acima ?
(A) 1,3 x J
(B) 7,9 x J
(C) 0
(D) 0,32 x J
(E) 0,50 x J
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Um disco e um anel de mesmo raio, mesma massa total e mesma velocidade, rolam sem deslizar sobre uma superfície plana. Em um dado momento, ambos encontram um plano inclinado e o sobem até pararem momentaneamente. Qual a razão entre a altura máxima atingida pelo anel pela altura máxima atingida pelo disco? Formulário: ,
A.
B.
C.
D.
E.
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(Cap 9 – Ex 34) Qual é a rapidez angular da Terra, em radianos por segundo, na rotação em torno de seu eixo?
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(Cap 9 – Ex 32) Uma roda-gigante de de raio completa uma volta a cada . (a) Qual é a sua rapidez angular (em radianos por segundo)? (b) Qual é a rapidez linear de um passageiro? (c) Qual é a aceleração de um passageiro?
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Um disco de raio R e de massa M uniformemente distribuída, possui um pequeno furo na sua periferia. Por este furo o disco é colocado no pino O, preso a uma parede vertical. No posicionamento inicial do disco o ponto A de sua periferia localizado diametralmente oposto a O está sobre o eixo vertical, acima de O; conforme mostra a figura abaixo. Como o disco está sob a condição de equilíbrio instável, ele cai girando em torno do pino O. Sabe-se que o momento de inércia deste disco em torno de um eixo que passa pelo centro de massa e perpendicular e ele é igual . Desprezando-se o atrito entre o pino e o disco, quando o ponto A passa pela linha vertical, abaixo de O, a velocidade angular ω do disco, é igual a:
Questão 35
(Capítulo 9.1 – Exercício 33) Um ciclista acelera uniformemente a partir do repouso. Após , as rodas completam . (a) Qual é a aceleração angular das rodas? (b) Qual é a rapidez angular das rodas ao final dos ?
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(Capítulo 9.1 – Exercício 31) Um disco de 12 cm de raio, que começa a girar em torno de seu eixo em , gira com uma aceleração angular constante de . Em , (a) qual é a rapidez angular do disco e (b) quais são as componentes tangencial e centrípeta da aceleração de um ponto na borda do disco?
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(Cap 9 – Ex 34) Qual é a rapidez angular da Terra, em radianos por segundo, na rotação em torno de seu eixo?
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(Capítulo 9.1 – Exercício 35) Uma roda varre em ao ser levada ao repouso com aceleração angular constante. Determine a rapidez angular inicial da roda ao começar a ser freada.
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(Cap 9 – Ex 32) Uma roda-gigante de de raio completa uma volta a cada . (a) Qual é a sua rapidez angular (em radianos por segundo)? (b) Qual é a rapidez linear de um passageiro? (c) Qual é a aceleração de um passageiro?
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(Capítulo 9.1 – Exercício 28) Uma partícula se move com uma rapidez constante de em um círculo de de raio. (a) Qual é a sua rapidez angular em radianos por segundo em relação ao centro do círculo? (b) Quantas voltas ela dá em ?
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(Cap 9 – Ex 36) Uma bicicleta tem rodas de de diâmetro. O ciclista acelera a partir do repouso, com aceleração constante, até , em . Qual é a aceleração angular das rodas?
Ver solução completaQuestão 42
Parte 1 – Uma roda de bicicleta é constituída por um aro de raio e por barras que sustentam o aro em torno de um eixo de rotação conforme a figura. A massa do aro vale e de cada uma das barras vale . Determine o momento de inércia desta roda. (O momento de inércia de uma barra girando em torno de seu centro de massa ale ).
Parte 2 – Uma roda com momento de inércia se encontra girando a uma velocidade angular de . Esta roda é então freada com uma aceleração angular constante de até parar.
a) Determine a energia cinética inicial da roda.
b) Determine o tempo necessário e o ângulo percorrido em radianos até a roda parar.
Parte 3 – Um disco gira no plano com aceleração angular dada por , onde é o tempo.
a) Se o disco possui velocidade angular inicial , escreva a equação para a velocidade angular.
b) Determine o vetor velocidade angular do disco no instante onde .
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