Lista de Exercícios Resolvidos de Energia Cinética de Rotação
Na Fig. 10-36, duas partículas ambas de massa , estão ligadas uma à outra e a um eixo de rotação em por duas barras finas, ambas de comprimento e massa . O conjunto gira em torno do eixo de rotação com velocidade angular . Em relação a , quais são (a) o momento de inércia do conjunto e (b) a energia cinética do conjunto?
Calcule o momento de inércia de uma roda que tem uma energia cinética de quando gira a .
Ver solução completaUm poste cilindrico, fino e homogêneo de 10 metros de altura é derrubado, a partir da posição vertical. Sua base permanece fixa durante sua queda. Qual a velocidade da ponta do poste quando ele atinge o chão?(Despreze os atritos e dissipações neste caso.)
a)
b)
c)
d)
e)
Dados:
Momento de inércia de uma barra:
Ver solução completaUm carro tem uma roda de massa e raio com momento de inércia relativo ao seu eixo de rotação que passa pelo seu centro de massa. O carro arranca em movimento retilíneo com a roda patinando na pista de modo que a velocidade de seu centrode massa esteja relacionada com sua velocidade angular de rotação por meio de . Nesse caso, a energia cinética da roda é
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
Uma esfera é lançada rolando sem deslizar subindo um plano inclinado com velocidade inicial do seu centro de massa. Um bloco é lançado subindo em translação um plano inclinado com a mesma inclinação e com a mesma velocidade inicial do seu centro de massa. No plano onde se encontra a esfera há atrito suficiente para que ela permaneça rolando sem deslizar e no plano onde está o bloco não há atrito.
A relação entre a altura máxima que o bloco atinge e a altura máxima que a esfera atinge nos respectivos planos é dada por
(a) , pois tanto a energia cinética do bloco como a da esfera se conserva.
(b) , pois tanto a energia mecânica do bloco como a da esfera se conserva.
(c) , pois o bloco desliza sem atrito.
(d) , pois a esfera rola sem deslizar.
(e) , pois tanto a energia mecânica do bloco como a da esfera se conserva.
Ver solução completaUm carro tem uma roda de massa e raio com momento de inércia relativo ao seu eixo de rotação que passa pelo seu centro de massa. O carro arranca em movimento retilíneo com a roda patinando na pista de modo que a velocidade de seu centro de massa esteja relacionada com sua velocidade angular de rotação por meio de . Nesse caso, a energia cinética da roda é
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
Três partículas de massas , e diferentes movem-se com a mesma velocidade vetorial constante relativas a um dado referencial. Sendo a energia cinética do sistema e a energia cinética do seu centro de massa, relativas a esse referencial inercial, e sua energia cinética relativa ao centro de massa, é correto afirmar que:
- com e ambas diferentes de zero;
- com e ambas diferentes de zero;
- é sempre nula;
- ;
Uma barra fina e homogênea de massa e comprimento é liberada na posição horizontal a partir do repouso e gira em torno de um eixo horizontal fixo, perpendicular a ela e que passa por uma de suas extremidades. Sabendo que não há atrito entre a barra e o eixo e que o momento de inércia da barra relativo ao eixo é igual a , podemos afirmar que ao passar pela posição vertical a velocidade do centro de massa da barra é
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
Um disco homogêneo de raio e massa rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal com velocidade angular constante. O momento de inércia deste disco em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa, perpendicularmente ao disco, é igual a . A energia cinética desse disco é
- ;
- ;
- ;
- ;
- ;
Uma esfera de raio e massa rola sem deslizar sobre uma mesa horizontal com velocidade angular constante. Sabendo-se que o momento de inércia de uma esfera segundo um eixo que passa pelo seu centro é , a energia cinética desta esfera é:
Dois blocos de massas e estão ligados por um fio ideal que passa por uma roldana homogênea, também de massa , e de raio . A roldana é sustentada por um eixo horizontal coincidente com seu eixo geométrico de simetria, como ilustra a figura. Não há atrito entre o eixo e a roldana e o fio não desliza sobre ela. Considere o intervalo de tempo com um instante inicial em que a roldana e os blocos estão em repouso e um instante final em que o bloco mais pesado já desceu uma distância vertical .
Considere como dados e o módulo da aceleração da gravidade. O momento de inércia da roldana relativo ao seu eixo de simetria é . Calcule
a) a variação da energia cinética do sistema constituído pela roldana e os blocos no intervalo de tempo considerado;
b) o módulo da velocidade do bloco mais pesado no instante final;
c) a razão entre a energia cinética de rotação da roldana e a energia cinética total de translação dos dois blocos no instante final.
Ver solução completaUma roldana maciça e homogênea tem seu eixo central fixo e pode ser solicitada a girar por cordas presas tanto a seu raio interno , quanto a seu raio externo . A peça toda é rígida.
Uma força de módulo constante igual a e direção sempre perpendicular ao raio externo da roldana a acelera desde o repouso até o instante em que sua velocidade angular vale . Durante essa rotaçãoo, o deslocamento angular da roldana é de 3,2 rad. Usando que , calcule o momento de inércia da roldana.
Calcule a potencia instantenea desenvolvida pela força no instante considerado no item .
Ver solução completaUma roldana maciça e homogênea tem seu eixo central fixo e pode ser solicitada a girar por cordas presas tanto a seu raio interno , quanto a seu raio externo . A roldana sustenta por seu raio interno um corpo de massa , e está atrelada, por seu raio externo, a uma mola de constante elástica . O sistema está inicialmente em repouso com a mola destendida de .
) O sistema é liberado e num determinado instante a distensão da mola vale de . Calcule a variação da altura do corpo desde que o sistema foi liberado até este instante, respondendo se o corpo subiu ou desceu.
) Calcule a velocidade angular da roldanano instante considerado no item . Considere que a variação de altura do corpo é de , que o momento de inércia da roldana vale e
Ver solução completaUma haste rígida vertical de massa e comprimento pode girar livremente em torno do eixo horizontal (perpendicular ao papel) que passa por sua extremidade inferior. O momento de inércia da haste em relação ao eixo de rotação é . A haste é liberada a partir do repouso e começa a girar em torno de sua extremidade inferior. Quando passa pela posição vertical invertida, o módulo da velocidade angular da haste é
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Ver solução completaDuas polias com massas e estão acopladas através de uma correia de massa desprezível, como mostra a figura ao lado. A polia é acelerada a partir do repouso com aceleração angular durante o tempo .
As polias têm raios e , respectivamente, e podem girar sem atrito.
O momento de inércia de uma polia é dado por .
- Calcule as velocidades angulares das polias e no instante de tempo
- Obtenha a fração entre as energias cinéticas das polias e , no instante de tempo .
Uma bola de gude de massa e raio rola sem deslizar ao longo do trilho curvo mostrado na figura, tendo sido abandonada do repouso em algum lugar sobre a parte reta do trilho. A linha pontilhada descreve a trajetória do centro de massa da bola de gude.
Dado: Momento de inércia de uma esfera girando ao redor do eixo que passa pelo seu centro de massa:
- Desenha as forças que agem sobre a esfera quando ela desce a parte reta do trilho, justificando o sentido da força de atrito.
- De que altura mínima acima da base do trilho se deve abandonar a bola a fim de que ela se mantenha no trilho no topo da circunferência?
- Se a bola é abandonada de uma altura acima da base do trilho, qual será o módulo da componente horizontal da força atuante sobre ela no ponto
Um poste cilindrico, fino e homogêneo de 10 metros de altura é derrubado, a partir da posição vertical. Sua base permanece fixa durante sua queda. Qual a velocidade da ponta do poste quando ele atinge o chão?(Despreze os atritos e dissipações neste caso.)
a)
b)
c)
d)
e)
Um cilindro uniforme, uma esfera, e um tubo (oco) são lançados horizontalmente, com a mesma velocidade, em uma superfície plana, em direção a um plano inclinado. Os três tem o mesmo raio, e rolam sem deslizar. Qual deles atinge uma altura maior no plano inclinado?
a) É necessário saber as massas para realizar o cálculo.
b) A esfera.
c) Os três atingem a mesma altura.
d) O tubo oco.
e) O cilindro maciço.
Uma esfera sólida homogênea, de massa e raio , gira com velocidade angular em torno de um eixo que passa pelo seu centro. Um cilindro sólido homogêneo, de massa e raio , gira em torno do seu eixo central, paralelo ao comprimento do cilindro. Responder justificando:
Qual deve ser a velocidade angular do cilindro para que ele tenha a mesma energia cinética rotacional que a esfera?
Ver solução completaUm disco fino, homogêneo, de massa 100 g e 8,0 cm de diâmetro gira em torno de um eixo perpendicular ao seu plano que passa pelo seu centro. A energia cinética de rotação do disco é de 0,15 J. Qual o módulo da velocidade de um ponto na borda do disco?
Ver solução completaPara um disco de massa e raio , que rola sem deslizar, o que é maior, sua energia cinética translacional ou sua energia cinética de rotação em relação ao centro de massa?
Uma barra uniforme de comprimento e massa está pressa por uma das extremidades a um pivot com atrito desprezível, e, livre para girar no plano vertical. A barra é liberada do repouso na posição horizontal como mostra a figura. Ao atingir a posição vertical, a velocidade linear da extremidade da barra oposta ao pino é
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Ver solução completaUma bengala delgada de comprimento é constituída de uma haste homogênea de massa e uma pequena esfera de massa de raio desprezível na extremidade. Inicialmente equilibrada na vertical, ela começa a tombar mantendo o ponto de contato com o solo fixo devido ao atrito estático. Considerando a rotação em torno do eixo perpendicular à figura que passa pelo ponto de contato entre a bengala e o solo, determine a velocidade angular da esfera imediatamente antes de colidir com o solo.
a)
b)
c)
d)
e)
Ver solução completaUm sistema composto por uma haste delgada de massa e comprimento e um aro fino de raio desconhecido e mesma massa é livre para girar em torno do eixo . Determine, fornecendo as respostas com o número de algarismos significativos adequado:
a) O valor de que faz o momento de inércia do aro ser igual ao momento de inércia da haste.
b) Determine a aceleração angular necessária para levar o sistema do repouso até que um ponto na extremidade da haste possua velocidade tangencial em
c) Suponha agora que o momento de inércia do conjunto seja e que ele gire com velocidade angular . Determine o trabalho necessário para levar o sistema ao repouso completo
d) Se o eixo de rotação for movido paralelamente até a extremidade da haste qual o novo momento de inércia do conjunto neste novo eixo?
Dados:
Ver solução completaO objeto ilustrado ao lado é composto por um cilindro de raio , uma haste rígida e dois discos afastados do eixo de rotação. O objeto tem momento de inércia . Ao longo do perímetro do cilindro está enrolada uma corda inextensível de massa desprezível. Outra parte desta corda está enrolada em uma roldana de raio e momento de inércia . Na extremidade da corda está uma pequeno cubo de massa , distante de um suporte. Não há deslizamento na corda. Inicialmente o sistema é mantido em repouso através de um freio. No instante o freio é retirado e o sistema inicia seu movimento. Utilize para a aceleração da gravidade.
(d) Determine a energia cinética adquirida pelo sistema desde até quando o cubo está prestes a encostar no suporte. Despreze atritos.
Ver solução completaQual é a energia cinética de rotação do sistema de partículas da questão 17 se ele gira a 2,0 rev/s em torno de um eixo perpendicular ao plano e que passa pelo ponto O da figura acima ?
(A) 1,3 x J
(B) 7,9 x J
(C) 0
(D) 0,32 x J
(E) 0,50 x J
Ver solução completaUm disco e um anel de mesmo raio, mesma massa total e mesma velocidade, rolam sem deslizar sobre uma superfície plana. Em um dado momento, ambos encontram um plano inclinado e o sobem até pararem momentaneamente. Qual a razão entre a altura máxima atingida pelo anel pela altura máxima atingida pelo disco? Formulário: ,
A.
B.
C.
D.
E.
Ver solução completaUm corpo rígido é formado por três barras finas de comprimento , unidas na forma de uma letra . O corpo pode girar livremente em torno de um eixo horizontal que coincide com uma das "pernas"do . O corpo é liberado a partir do repouso em uma posição em que o plano de está na horizontal. Qual é a velocidade angular do corpo quando o plano do está na vertical?
A.
B.
C.
D.
E.
Ver solução completaUm disco de raio R e de massa M uniformemente distribuída, possui um pequeno furo na sua periferia. Por este furo o disco é colocado no pino O, preso a uma parede vertical. No posicionamento inicial do disco o ponto A de sua periferia localizado diametralmente oposto a O está sobre o eixo vertical, acima de O; conforme mostra a figura abaixo. Como o disco está sob a condição de equilíbrio instável, ele cai girando em torno do pino O. Sabe-se que o momento de inércia deste disco em torno de um eixo que passa pelo centro de massa e perpendicular e ele é igual . Desprezando-se o atrito entre o pino e o disco, quando o ponto A passa pela linha vertical, abaixo de O, a velocidade angular ω do disco, é igual a:
Um bloco de massa encontra-se sobre uma superfície horizontal sem atrito, preso a uma corda que passa por uma roldana circular de raio e momento de inércia (ver Figura 3). A corda não desliza na roldana e sua outra extremidade é presa a um bloco de massa . O sistema encontra-se inicialmente em repouso. Considere .
- Num dado instante após o sistema ser liberado, os blocos possuem velocidade de módulo . Qual é a velocidade angular da roldana nesse instante? Qual é a energia cinética total do sistema formado pelos blocos e pela roldana nesse instante?
- Qual é o módulo da velocidade dos blocos no instante em que o bloco menor se encontra a uma distancia vertical de em relação à sua altura original?
- Na situação do item (b), qual é o módulo do momento angular da roldana em relação ao seu centro?
- Quais são a aceleração dos blocos e a aceleração angular da roldana após o sistema ser liberado?
Parte 1 – Uma roda de bicicleta é constituída por um aro de raio e por barras que sustentam o aro em torno de um eixo de rotação conforme a figura. A massa do aro vale e de cada uma das barras vale . Determine o momento de inércia desta roda. (O momento de inércia de uma barra girando em torno de seu centro de massa ale ).
Parte 2 – Uma roda com momento de inércia se encontra girando a uma velocidade angular de . Esta roda é então freada com uma aceleração angular constante de até parar.
a) Determine a energia cinética inicial da roda.
b) Determine o tempo necessário e o ângulo percorrido em radianos até a roda parar.
Parte 3 – Um disco gira no plano com aceleração angular dada por , onde é o tempo.
a) Se o disco possui velocidade angular inicial , escreva a equação para a velocidade angular.
b) Determine o vetor velocidade angular do disco no instante onde .
Ver solução completaDois fios ideais estão enrolados na periferia de um cilindro de comprimento , raio e massa . O cilindro é abandonado a partir do repouso e passa a cair na vertical sem escorregar nos fios. Considere e .
Para o instante em que o eixo do cilindro tiver descido a distância vertical de , calcule:
a) a energia cinética de translação do cilindro;
b) a energia cinética de rotação do cilindro.
Considere agora um segundo cilindro de mesmo , mesmo e mesma massa que o anterior, mas com massa distribuída de modo diferente de tal modo que , onde é um fator adimensional menor ou igual a .
c) Calcule o valor de sabendo que, após cair a partir do repouso, a velocidade escalar de seu centro de massa vale .
Ver solução completaUma partícula massiva encontra-se grudada em uma das extremidades de uma barra sem massa (ver Figura abaixo). A outra extremidade da barra está conectada na origem do plano horizontal . A partícula e a barra giram no plano , de modo que a partícula descreve uma circunferência com centro no ponto . A posição angular da partícula (em rad) é dada por:
onde o tempo é dado em segundos. O momento de inércia da partícula em relação ao eixo perpendicular ao plano e que passa no ponto é .
A energia cinética de rotação da partícula no instante vale:
(a) J (b) J (c) J (d) J (e) J (f) J (g) J (h) J
Ver solução completaA figura abaixo mostra dois ioiôs de mesmo tamanho (raios iguais) e mesma massa, que podem descer rolando por uma corda que os prende ao teto. As cordas são inextensíveis e não deslizam.
Cada ioiô é composto dos mesmos dois materiais, um mais denso que o outro (ou seja, com uma massa maior por unidade de volume).
No ioiô o material mais denso forma a metade interna da área do disco. No ioiô ele forma a metade externa da área do disco.
Os dois ioiôs são largados a partir do repouso.
Após eles descerem rolando uma mesma altura , o que podemos afirmar sobre as energias cinéticas, e , as velocidades dos centros de massa, e , e as velocidades angulares e dos ioiôs e respectivamente?