1.

Calcule o momento de inércia de uma roda que tem uma energia cinética de 24   400   J quando gira a 602   r e v / m i n .

Resolução
2.

Na Fig. 10-36, duas partículas ambas de massa m = 0,85   k g , estão ligadas uma à outra e a um eixo de rotação em O por duas barras finas, ambas de comprimento d = 5,6   c m e massa M = 1,2   k g . O conjunto gira em torno do eixo de rotação com velocidade angular ω = 0,30   r a d / s . Em relação a O , quais são (a) o momento de inércia do conjunto e (b) a energia cinética do conjunto?

Resolução
3.

Um poste cilindrico, fino e homogêneo de 10 metros de altura é derrubado, a partir da posição vertical. Sua base permanece fixa durante sua queda. Qual a velocidade da ponta do poste quando ele atinge o chão?(Despreze os atritos e dissipações neste caso.)

a) 10   m / s

b) 20 3   m / s

c) 10 2   m / s

d) 20   m / s

e) 10 3   m / s

Dados:

Momento de inércia de uma barra: I C M = M L 2 / 12

Resolução
4.

Um carro tem uma roda de massa M e raio R com momento de inércia I c m = 3 / 4 M R 2 relativo ao seu eixo de rotação que passa pelo seu centro de massa. O carro arranca em movimento retilíneo com a roda patinando na pista de modo que a velocidade v → c m de seu centrode massa esteja relacionada com sua velocidade angular de rotação ω por meio de v c m = ω R / 2 . Nesse caso, a energia cinética da roda é

  1. 1 / 4 M R 2 ω 2 ;
  2. 5 / 4 M R 2 ω 2 ;
  3. 3 / 4 M R 2 ω 2 ;
  4. M R 2 ω 2 ;
  5. 1 / 2 M R 2 ω 2 ;
Resolução
5.

Uma esfera é lançada rolando sem deslizar subindo um plano inclinado com velocidade inicial v → do seu centro de massa. Um bloco é lançado subindo em translação um plano inclinado com a mesma inclinação e com a mesma velocidade inicial v → do seu centro de massa. No plano onde se encontra a esfera há atrito suficiente para que ela permaneça rolando sem deslizar e no plano onde está o bloco não há atrito.

A relação entre a altura máxima H b que o bloco atinge e a altura máxima H e que a esfera atinge nos respectivos planos é dada por

(a) H b = H e , pois tanto a energia cinética do bloco como a da esfera se conserva.

(b) H b = H e , pois tanto a energia mecânica do bloco como a da esfera se conserva.

(c) H b > H e , pois o bloco desliza sem atrito.

(d) H e > H b , pois a esfera rola sem deslizar.

(e) H e > H b , pois tanto a energia mecânica do bloco como a da esfera se conserva.

Resolução
6.

Um carro tem uma roda de massa M e raio R com momento de inércia I c m = 3 / 4 M R 2 relativo ao seu eixo de rotação que passa pelo seu centro de massa. O carro arranca em movimento retilíneo com a roda patinando na pista de modo que a velocidade v → c m de seu centro de massa esteja relacionada com sua velocidade angular de rotação ω por meio de v c m = ω R / 2 . Nesse caso, a energia cinética da roda é

  1. 1 / 4 M R 2 ω 2 ;
  2. 5 / 4 M R 2 ω 2 ;
  3. 3 / 4 M R 2 ω 2 ;
  4. M R 2 ω 2 ;
  5. 1 / 2 M R 2 ω 2 ;
Resolução
7.

Uma barra fina e homogênea de massa M e comprimento L é liberada na posição horizontal a partir do repouso e gira em torno de um eixo horizontal fixo, perpendicular a ela e que passa por uma de suas extremidades. Sabendo que não há atrito entre a barra e o eixo e que o momento de inércia da barra relativo ao eixo é igual a 1 / 3 M L 2 , podemos afirmar que ao passar pela posição vertical a velocidade do centro de massa da barra é

  1. 3 g L / 2 ;
  2. 3 g L ;
  3. π g L / 2 ;
  4. 3 g L / 4 ;
  5. π g L / 2 ;
Resolução
8.

Um disco homogêneo de raio R e massa M rola sem deslizar sobre uma superfície horizontal com velocidade angular ω constante. O momento de inércia deste disco em relação ao eixo que passa pelo seu centro de massa, perpendicularmente ao disco, é igual a 1 / 2 M R 2 . A energia cinética desse disco é

  1. 1 / 2 M R 2 ω 2 ;
  2. 3 / 2 M R 2 ω 2 ;
  3. 2 / 3 M R 2 ω 2 ;
  4. 3 / 4 M R 2 ω 2 ;
  5. 5 / 6 M R 2 ω 2 ;
Resolução
9.

Três partículas de massas m 1 , m 2 e m 3 diferentes movem-se com a mesma velocidade vetorial v → constante relativas a um dado referencial. Sendo K a energia cinética do sistema e K C M a energia cinética do seu centro de massa, relativas a esse referencial inercial, e K ' sua energia cinética relativa ao centro de massa, é correto afirmar que:

  1. K = K ' - K C M com K ' e K C M ambas diferentes de zero;
  2. K = K ' + K C M com K ' e K C M ambas diferentes de zero;
  3. K C M é sempre nula;
  4. K ' = K C M ;
  5. K ' = 0 ⋅
Resolução
10.

Uma esfera de raio R e massa M rola sem deslizar sobre uma mesa horizontal com velocidade angular ω constante. Sabendo-se que o momento de inércia de uma esfera segundo um eixo que passa pelo seu centro é I C M = 2 / 5 M R 2 , a energia cinética desta esfera é:

  1. 1 2 M R 2 ω 2
  2. 1 7 M R 2 ω 2
  3. 1 5 M R 2 ω 2
  4. 5 7 M R 2 ω 2
  5. 7 10 M R 2 ω 2
Resolução
11.

Dois blocos de massas m e 3 m estão ligados por um fio ideal que passa por uma roldana homogênea, também de massa m , e de raio R . A roldana é sustentada por um eixo horizontal coincidente com seu eixo geométrico de simetria, como ilustra a figura. Não há atrito entre o eixo e a roldana e o fio não desliza sobre ela. Considere o intervalo de tempo com um instante inicial em que a roldana e os blocos estão em repouso e um instante final em que o bloco mais pesado já desceu uma distância vertical h .

Considere como dados m ,   R ,   h e o módulo g da aceleração da gravidade. O momento de inércia da roldana relativo ao seu eixo de simetria é m R 2 / 2 . Calcule

a) a variação da energia cinética do sistema constituído pela roldana e os blocos no intervalo de tempo considerado;

b) o módulo da velocidade do bloco mais pesado no instante final;

c) a razão entre a energia cinética de rotação da roldana e a energia cinética total de translação dos dois blocos no instante final.

Resolução
12.

Uma roldana maciça e homogênea tem seu eixo central fixo e pode ser solicitada a girar por cordas presas tanto a seu raio interno R 1 = 10   c m , quanto a seu raio externo R 2 = 30   c m . A peça toda é rígida.

a ) Uma força F → de módulo constante igual a 6,0   N e direção sempre perpendicular ao raio externo da roldana a acelera desde o repouso até o instante em que sua velocidade angular vale 8,0   r a d / s . Durante essa rotaçãoo, o deslocamento angular da roldana é de 3,2 rad. Usando que W T O T = τ   .   Δ θ , calcule o momento de inércia I da roldana.

b ) Calcule a potencia instantenea P desenvolvida pela força F → no instante considerado no item a .

Resolução
13.

Uma roldana maciça e homogênea tem seu eixo central fixo e pode ser solicitada a girar por cordas presas tanto a seu raio interno R 1 = 10   c m , quanto a seu raio externo R 2 = 30   c m . A roldana sustenta por seu raio interno um corpo de massa m = 2,0   k g , e está atrelada, por seu raio externo, a uma mola de constante elástica k = 20   N / m . O sistema está inicialmente em repouso com a mola destendida de x 0 = 90   c m .

c ) O sistema é liberado e num determinado instante a distensão da mola vale de x = 30   c m . Calcule a variação da altura h do corpo desde que o sistema foi liberado até este instante, respondendo se o corpo subiu ou desceu.

  d ) Calcule a velocidade angular ω da roldanano instante considerado no item c . Considere que a variação de altura h do corpo é de 20   c m , que o momento de inércia da roldana vale 0,18   k g .   m 2 e g = 10   m / s 2

Resolução
14.

Uma haste rígida vertical de massa M e comprimento L pode girar livremente em torno do eixo horizontal (perpendicular ao papel) que passa por sua extremidade inferior. O momento de inércia da haste em relação ao eixo de rotação é I = M L 2 / 3 . A haste é liberada a partir do repouso e começa a girar em torno de sua extremidade inferior. Quando passa pela posição vertical invertida, o módulo da velocidade angular da haste é

(A) 3 g L

(B) 6 M g L

(C) 6 g L

(D) 3 M g L

(E) g 6 L

Resolução
15.

Duas polias com massas M A = 2 K g e M B = 4 K g estão acopladas através de uma correia C de massa desprezível, como mostra a figura ao lado. A polia A é acelerada a partir do repouso com aceleração angular α = 2   r a d / s 2 durante o tempo t   =   30   s e g u n d o s .

As polias têm raios R A = 20 c m e R B = 10 c m , respectivamente, e podem girar sem atrito.

O momento de inércia de uma polia é dado por I = M R 2 / 2 .

  1. Calcule as velocidades angulares das polias A e B no instante de tempo t = 30   s
  2. Obtenha a fração f = K A / K B entre as energias cinéticas das polias B e A , no instante de tempo t = 30   s .
Resolução
16.

Uma bola de gude de massa m e raio r rola sem deslizar ao longo do trilho curvo mostrado na figura, tendo sido abandonada do repouso em algum lugar sobre a parte reta do trilho. A linha pontilhada descreve a trajetória do centro de massa da bola de gude.

Dado: Momento de inércia de uma esfera girando ao redor do eixo que passa pelo seu centro de massa: I c m = 2 5 m r 2

  1. Desenha as forças que agem sobre a esfera quando ela desce a parte reta do trilho, justificando o sentido da força de atrito.
  2. De que altura mínima h acima da base do trilho se deve abandonar a bola a fim de que ela se mantenha no trilho no topo da circunferência?
  3. Se a bola é abandonada de uma altura 6 R acima da base do trilho, qual será o módulo da componente horizontal da força atuante sobre ela no ponto Q ?

Resolução
17.

Um cilindro uniforme, uma esfera, e um tubo (oco) são lançados horizontalmente, com a mesma velocidade, em uma superfície plana, em direção a um plano inclinado. Os três tem o mesmo raio, e rolam sem deslizar. Qual deles atinge uma altura maior no plano inclinado?

a) É necessário saber as massas para realizar o cálculo.

b) A esfera.

c) Os três atingem a mesma altura.

d) O tubo oco.

e) O cilindro maciço.

Resolução
18.

Um poste cilindrico, fino e homogêneo de 10 metros de altura é derrubado, a partir da posição vertical. Sua base permanece fixa durante sua queda. Qual a velocidade da ponta do poste quando ele atinge o chão?(Despreze os atritos e dissipações neste caso.)

a) 10   m / s

b) 20 3   m / s

c) 10 2   m / s

d) 20   m / s

e) 10 3   m / s

Resolução
19.

Um corpo rola sem deslizar ao longo de um plano inclinado de 30 ° em relação à horizontal. Sendo o corpo um cilindro e havendo partido do repouso a partir de uma certa altura, observa-se que adquire uma velocidade angular de 5,0   r a d / s ao chegar à base do plano inclinado. Se o raio do cilindro é 0,4   m e a massa é 2,0   k g , calcule a altura a partir da qual ele começou a rolar.

Resolução
20.

Assinale qual é a afirmativa verdadeira:

a) Para calcularmos o momento de inércia rotacional de um objeto em torno de um eixo, podemos considerar toda a sua massa concentrada no seu centro de massa.

b) O momento de inércia de um corpo rígido em torno de um eixo que passa pelo seu centro de massa é menor que o momento de inércia em torno de qualquer outro eixo paralelo.

c) Se a soma das forças em um objeto for zero, o torque neste objeto provocado por estas forças será zero também.

d) A energia cinética de um corpo girando em torno de um eixo depende somente da sua velocidade angular e da sua massa.

Resolução
21.

Uma esfera sólida homogênea, de massa M e raio R , gira com velocidade angular ω em torno de um eixo que passa pelo seu centro. Um cilindro sólido homogêneo, de massa M e raio R , gira em torno do seu eixo central, paralelo ao comprimento do cilindro. Responder justificando:

Qual deve ser a velocidade angular do cilindro para que ele tenha a mesma energia cinética rotacional que a esfera?

Resolução
22.

Um disco fino, homogêneo, de massa 100 g e 8,0 cm de diâmetro gira em torno de um eixo perpendicular ao seu plano que passa pelo seu centro. A energia cinética de rotação do disco é de 0,15 J. Qual o módulo da velocidade de um ponto na borda do disco?

Resolução
23.

Para um disco de massa M e raio R , que rola sem deslizar, o que é maior, sua energia cinética translacional ou sua energia cinética de rotação em relação ao centro de massa?

Resolução
24.

Uma barra uniforme de comprimento L e massa M está pressa por uma das extremidades a um pivot com atrito desprezível, e, livre para girar no plano vertical. A barra é liberada do repouso na posição horizontal como mostra a figura. Ao atingir a posição vertical, a velocidade linear da extremidade da barra oposta ao pino é

(a) 3 g L

(b) 3 g L / 2

(c) 2 g L

(d) 2 g L / 2

(e) 6 g L

Resolução
25.

Uma bengala delgada de comprimento L é constituída de uma haste homogênea de massa M e uma pequena esfera de massa m de raio desprezível na extremidade. Inicialmente equilibrada na vertical, ela começa a tombar mantendo o ponto de contato com o solo fixo devido ao atrito estático. Considerando a rotação em torno do eixo perpendicular à figura que passa pelo ponto de contato entre a bengala e o solo, determine a velocidade angular da esfera imediatamente antes de colidir com o solo.

a) 2 g L

b) 12 M + 2 m g M + 12 m L

c) 3 M + 2 m g M + 3 m L

d) 6 M + m g M + 3 m L

e) 2 m g M + m L

Resolução
26.

Um sistema composto por uma haste delgada de massa M = 1,20   k g e comprimento L = 0,500   m e um aro fino de raio R desconhecido e mesma massa M é livre para girar em torno do eixo z . Determine, fornecendo as respostas com o número de algarismos significativos adequado:

a) O valor de R que faz o momento de inércia do aro ser igual ao momento de inércia da haste.

b) Determine a aceleração angular necessária para levar o sistema do repouso até que um ponto na extremidade da haste possua velocidade tangencial v = 50,0   m / s em 8,00   s

c) Suponha agora que o momento de inércia do conjunto seja I z = 5,00 × 10 - 2   k g ⋅ m 2 e que ele gire com velocidade angular 1,91 × 10 3   r p m . Determine o trabalho necessário para levar o sistema ao repouso completo

d) Se o eixo de rotação for movido paralelamente até a extremidade da haste qual o novo momento de inércia do conjunto neste novo eixo?

Dados:

I a r o = M R 2

I h a s t e = 1 12 M L 2

Resolução
27.

O objeto ilustrado ao lado é composto por um cilindro de raio R , uma haste rígida e dois discos afastados do eixo de rotação. O objeto tem momento de inércia I . Ao longo do perímetro do cilindro está enrolada uma corda inextensível de massa desprezível. Outra parte desta corda está enrolada em uma roldana de raio R / 2 e momento de inércia I / 100 . Na extremidade da corda está uma pequeno cubo de massa M , distante A de um suporte. Não há deslizamento na corda. Inicialmente o sistema é mantido em repouso através de um freio. No instante t   =   0 o freio é retirado e o sistema inicia seu movimento. Utilize g para a aceleração da gravidade.

(d) Determine a energia cinética adquirida pelo sistema K f desde t = 0 até quando o cubo está prestes a encostar no suporte. Despreze atritos.

Resolução
28.

Qual é a energia cinética de rotação do sistema de partículas da questão 17 se ele gira a 2,0 rev/s em torno de um eixo perpendicular ao plano e que passa pelo ponto O da figura acima ?

(A) 1,3 x 10 3 J

(B) 7,9 x 10 3 J

(C) 0

(D) 0,32 x 10 3 J

(E) 0,50 x 10 3 J

Resolução
29.

Um disco e um anel de mesmo raio, mesma massa total e mesma velocidade, rolam sem deslizar sobre uma superfície plana. Em um dado momento, ambos encontram um plano inclinado e o sobem até pararem momentaneamente. Qual a razão entre a altura máxima atingida pelo anel pela altura máxima atingida pelo disco? Formulário: I D I S C O = 0,5 M R 2 , I A N E L = M R 2

A. 1

B. 1 / 2

C. 2 / 3

D. 3 / 4

E. 4 / 3

Resolução
30.

Um corpo rígido é formado por três barras finas de comprimento L , unidas na forma de uma letra H . O corpo pode girar livremente em torno de um eixo horizontal que coincide com uma das "pernas"do H . O corpo é liberado a partir do repouso em uma posição em que o plano de H está na horizontal. Qual é a velocidade angular do corpo quando o plano do H está na vertical?

A. ω = 3 g 2 L

B. ω = 3 2 g L

C. ω = g L  

D. ω = 1 2 g L

E. ω = 3 g L  

Resolução
31.

Um disco de raio R e de massa M uniformemente distribuída, possui um pequeno furo na sua periferia. Por este furo o disco é colocado no pino O, preso a uma parede vertical. No posicionamento inicial do disco o ponto A de sua periferia localizado diametralmente oposto a O está sobre o eixo vertical, acima de O; conforme mostra a figura abaixo. Como o disco está sob a condição de equilíbrio instável, ele cai girando em torno do pino O. Sabe-se que o momento de inércia I C M deste disco em torno de um eixo que passa pelo centro de massa e perpendicular e ele é igual M R 2 2 . Desprezando-se o atrito entre o pino e o disco, quando o ponto A passa pela linha vertical, abaixo de O, a velocidade angular ω do disco, é igual a:

  1. 2 2 g 3 R
  2. 2 g R
  3. g 2 R
  4. 2 g R
  5. 3 g 2 R
  6. 2 g R
Resolução
32.

Um bloco de massa M = 2 k g encontra-se sobre uma superfície horizontal sem atrito, preso a uma corda que passa por uma roldana circular de raio R   =   0,20   m e momento de inércia I = 0,040   k g / m 2 (ver Figura 3). A corda não desliza na roldana e sua outra extremidade é presa a um bloco de massa m   =   1   k g . O sistema encontra-se inicialmente em repouso. Considere g   =   10   m / s 2 .

  1. Num dado instante após o sistema ser liberado, os blocos possuem velocidade de módulo v = 2 m / s . Qual é a velocidade angular da roldana nesse instante? Qual é a energia cinética total do sistema formado pelos blocos e pela roldana nesse instante?
  2. Qual é o módulo da velocidade dos blocos no instante em que o bloco menor se encontra a uma distancia vertical de h = 2 m em relação à sua altura original?
  3. Na situação do item (b), qual é o módulo do momento angular da roldana em relação ao seu centro?
  4. Quais são a aceleração dos blocos e a aceleração angular da roldana após o sistema ser liberado?

Resolução
33.

Parte 1 – Uma roda de bicicleta é constituída por um aro de raio r = 25   c m e por 20 barras que sustentam o aro em torno de um eixo de rotação conforme a figura. A massa do aro vale 100   g e de cada uma das barras vale 10   g . Determine o momento de inércia desta roda. (O momento de inércia de uma barra girando em torno de seu centro de massa ale I C M - b a r r a = M L 2 / 12 ).

Parte 2 – Uma roda com momento de inércia I = 2 ⋅ 10 - 3   k g   m 2 se encontra girando a uma velocidade angular de 80   r a d / s . Esta roda é então freada com uma aceleração angular constante de - 2   r a d / s 2 até parar.

a) Determine a energia cinética inicial da roda.

b) Determine o tempo necessário e o ângulo percorrido em radianos até a roda parar.

Parte 3 – Um disco gira no plano x y com aceleração angular dada por α = t 2 + 3 t r a d / s 2 , onde t é o tempo.

a) Se o disco possui velocidade angular inicial ω 0 , escreva a equação para a velocidade angular.

b) Determine o vetor velocidade angular do disco no instante t = 3   s onde ω 0 = 2   r a d / s .

Resolução
34.

Dois fios ideais estão enrolados na periferia de um cilindro de comprimento L , raio R e massa M = 2,0   k g . O cilindro é abandonado a partir do repouso e passa a cair na vertical sem escorregar nos fios. Considere I c m = 1 2 M R 2 e g = 10   m / s 2 .

Para o instante em que o eixo do cilindro tiver descido a distância vertical de