Enunciado

Uma bola é lançada de um solo plano a um ângulo de 55° acima da horizontal, com uma rapidez inicial de 22 m/s. Ela cai sobre uma superfície dura e repica, atingindo uma altura máxima igual a 75 por cento daquela atingida no primeiro arco de trajetória. (Ignore a resistência do ar.) (a) Qual é a altura máxima atingida no primeiro arco parabólico? (b) A que distância horizontal do ponto de lançamento a bola caiu pela primeira vez? (c) A que distância horizontal do ponto de lançamento a bola caiu pela segunda vez? Suponha que a componente horizontal da velocidade se mantém constante, na colisão da bola com o chão. Dica: Você não pode supor que a bola abandona o chão, após a colisão, a um mesmo ângulo acima da horizontal que no lançamento inicial.

Passo 1

a) Oi pessoal, tudo bem? A gente tem uma bola que quica. Aí ele diz que a altura máxima depois que ela quica é 75 % da altura máxima do lançamento inicial:

h 2 = 0,75 h 1

A figura abaixo vai nos ajudar a entender melhor o enunciado:

Como ele diz para gente considerar que o ângulo que a bola deixa o chão não é igual nas duas partes do movimento, a gente deixou os dois ângulos como sendo diferentes.

Percebe então que é como se a gente tivesse dois lançamentos de projetil. Um após o outro. Assim, a velocidade na horizontal é constante. E ele fala para considerar ela igual para os dois movimentos, então:

v 0 x = v 1 x

E a aceleração na vertical é constante.

O que ele quer primeiro é a altura máxima h 1 . Então a gente só precisa olhar para o primeiro lançamento. Vamos ver como achar essa belezinha!

Passo 2

Se a gente quer a altura máxima, queremos uma informação do movimento vertical, certo? Então a gente só vai olhar para esse movimento.

Para começar, podemos encontrar a velocidade inicial vertical v 0 y . Ela é a projeção de v 0 em y . E por isso tem essa expressão:

v 0 y = v 0   s e n   θ 0

Outra coisa muito importante é a gente lembrar que no ponto mais alto da sua trajetória, a velocidade vertical do objeto é nula. Então no ponto momento onde ele está no ponto mais alto, temos:

v y = 0

Se temos aceleração constante, valem as equações para o movimento com aceleração contante, certo?

E não temos nada falando sobre tempo decorrido também. Essa é uma dica para gente usar a equação de Torricelli, que relaciona o deslocamento do progétil com a sua velocidade final e inicial. Ela tem essa carinha

v y 2 = v 0 y 2 + 2 a Δ y

Para usar essa bonita para o nosso caso, vamos substituir nossos dados. Lembrando que a = - g (negativa porque a gravidade está para baixo. E queremos achar Δ y = h 1 . Substituido essas coisas e nossas expressões:

0 = v 0   s e n   θ 0 2 - 2 g h 1

Isolando quem a gente quer:

h 1 = v 0 2 sin 2 ⁡ θ 0 2 g

Substituindo os valores, temos:

h 1 = 22 2 sin 2 ⁡ 55 ° 2 ⋅ 9,81

h 1 = 16,55   m

Passo 3

b) Para achar o alcance máximo no primeiro lançamento, vamos achar primeiro o tempo que leva para a bola chegar a altura máxima.

A gente pode usar a equação horária da velocidade para o movimento vertical:

v y = v 0 y + a y t

Lembrando que v 0 y = v 0   s e n   θ 0 , a y = - g e na altura máxima temos v y = 0 , e substituindo essas coisas na equação acima:

0 = v 0   s e n   θ 0 - g t

t = v 0   s e n   θ 0 g

Esse é o tempo que a bola leva para subir. O tempo total do primeiro lançamento vai ser o dobro disso, então:

Δ t 1 = 2 v 0   s e n   θ 0 g

Passo 4

Agora que a gente sabe o tempo total do primeiro lançamento, a gente pode descobrir o deslocamento horizontal dentro desse tempo que é o alcance R 1 .

Como temos um movimento de velocidade constante v 0 x na horizontal, a gente pode usar a expressão da velocidade média:

v = Δ x 1 Δ t 1 → Δ x 1 = v Δ t 1

Sendo que Δ x 1 = R 1 e v = v 0 x = v 0 cos ⁡ θ 0 (velocidade inicial horizontal), e temos a expressão de Δ t 1 :

R 1 = v 0 cos ⁡ θ 0 2 v 0   s e n   θ 0 g

Substituindo nossos dados:

R 1 = 22 cos ⁡ 55 ° 2 22   s e n   55 ° 9,81

R 1 = 46,36   m

Passo 5

c) Ele quer a distância que a bola cai no segundo lançamento em relação ao ponto inicial do primeiro lançamento. Ou seja, a gente quer a soma dos dois alcances dos dois lançamentos:

R t o t = R 1 + R 2

Já temos R 1 , só falta R 2 . Os lançamentos são analagos. A bola sai do solo e depois volta. Por isso, a gente pode usar a expressão no alcance que a gente achou para primeiro lançamento:

R 1 = v 0 cos ⁡ θ 0 2 v 0   s e n   θ 0 g

R 1 = 2 v 0 2   s e n   θ 0 cos ⁡ θ 0 g

Mas esse v 0 agora é a velocidade inicial do segundo lançamento, que no nosso desenho é v 1 . E θ 0 é o ângulo inicial do lançamento, que agora é θ 1 . Então R 2 fica:

R 2 = 2 v 1 2   s e n   θ 1 cos ⁡ θ 1 g

A gente não pode supor que θ = 55 ° . Então precisamos achar v 1 e θ 1 .

Passo 6

v 1 é o módulo da velocidade que tem componentes v 1 y e v 1 x . Então o módulo da velocidade é

v 1 = v 1 x 2 + v 1 y 2

v 1 2 = v 1 x 2 + v 1 y 2

Substituindo isso na nossa equação do alcance:

R 2 = 2 v 1 x 2 + v 1 y 2   s e n   θ 1 cos ⁡ θ 1 g

A componente inicial da velocidade do segundo lançamento pode ser encontrada usando a equação:

v y 2 = v 1 y 2 + 2 a Δ y

Isso porque por ela a gente acha a altura máxima do segundo lançamento h 2 em função da velocidade inicial. Temos que Δ y = h 1 , v y = 0 (velocidade vertical na altura máxima) e a = - g :

0 = v 1 y 2 - 2 g h 2

Isolando v 1 y , porque queremos ela mesmo:

v 1 y = 2 g h 2

Como h 2 = 0,75 h 1 , podemos dizer que:

v 1 y = 1,5 g h 1

O enunciado diz que componente horizontal da velocidade no segundo momento é igual a velocidade inicial do primeiro lançamento, então:

v 1 x = v 0 x = v 0 cos ⁡ θ 0

Passo 7

Com as componentes da velocidade inicial, a gente pode achar seu ângulo pela formulinha:

θ 1 = tan - 1 ⁡ v 1 y v 1 x

θ 1 = tan - 1 ⁡ 1,5 g h 1 v 0 cos ⁡ θ 0

Substituindo os valores, temos:

θ 1 = tan - 1 ⁡ 1,5 ⋅ 9,81 ⋅ 16,55 22 ⋅ cos ⁡ 55 °

θ 1 = 51,04   °

E voltamos ao alcance 2:

R 2 = 2 v 1 x 2 + v 1 y 2     s e n   θ 1 cos ⁡ θ 1 g

Substituindo as expressões de v x e v y :

R 2 = 2 v 0 cos ⁡ θ 0 2 + 1,5 g h 1     s e n   θ 1 cos ⁡ θ 1 g

E substitundo os dados:

R 2 = 2 22 cos ⁡ 55 ° 2 + 1,5 9,81 16,55   s e n   51,04   ° cos ⁡ 51,04   ° 9,81

R 2 = 40,15   m

Portanto:

R t o t a l = R 1 + R 2

R t o t a l = 46,36 + 40,15  

R t o t a l = 86,51   m

Resposta

a ) h 1 = 16,55   m

b ) R = 46,36   m

c )   R t o t a l = 86,51   m

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