Enunciado

Um peixe-arqueiro lança um gota d’água da superfície de um pequeno lago, a um ângulo de 60° acima da horizontal. Seu alvo é uma apetitosa aranha sentada em uma folha distante 50 cm, para o leste, em um ramo que está a uma altura de 25 cm acima da superfície da água. O peixe está tentando derrubar a aranha na água, para comê-la. (a) Para que ele seja bem sucedido, qual deve ser a rapidez inicial da gota d’água? (b) Ao atingir a aranha, a gota d’água está subindo ou descendo?

Passo 1

a) Oi pessoal, tudo bem? Ele diz que o peixe lança a gota a um ângulo de θ 0 = 60 ° com uma velocidade inicial v 0 .

Na vertical temos a ação da gravidade, então teremos um movimento com aceleração constante. E na horizontal não há aceleração (desconsiderando a resistência do ar), então temos velocidade constante.

Ele quer atingir uma aranha que está a uma distância de 50   c m , então o deslocamento horizontal da gota deve ser:

Δ x = 0,5   m

E ela está a um altura de 25   c m , então o deslocamento vertical deve ser:

Δ y = 0,25   c m

E o enuncido quer saber a rapidez inicial v 0 da gota.

Como temos um movimento vertical independente do movimento horizontal, é uma boa escrever as componentes de v 0 , que tem essa fórmulinha quando temos um ângulo acima da horizontal:

v 0 x = v 0 cos ⁡ θ 0

v 0 y = v 0   s e n   θ 0

Aí partir dessas informações e das equações referentes a cada tipo de movimento, vamos chegar no valor de v 0 . Bora lá!

Passo 2

Vamos começar equacionando o movimento horizontal. A gente tem o deslocamento, e sabe que o movimento na horizontal tem velocidade constante. Logo v 0 x vai ser a velocidade de todo o movimento. Por isso, a gente pode usar a equação:

x = x 0 + v t

x - x 0 = v t

Δ x = v t

Onde v = v 0 x = v 0 cos ⁡ θ 0 , e Δ x = 0,5   m :

Δ x = v 0 x t

Δ x = v 0 cos ⁡ θ 0 t

Agora vamos analisar o movimento vertical. Também temos o deslocamento. E sabemos que a acelaração é a da gravidade a y = - g = - 9,8     m / s 2 . Ela é negativa porque aponta para baixo.

Pensamos nessas coisas, a gente pode usar a equação horário da posição para a constante:

y - y 0 = v 0 y t + 1 2 a y t 2

Δ y = v 0 y t + 1 2 a y t 2

Lembrando que temos uma expressão para v 0 y e a :

Δ y = ( v 0 sin ⁡ θ 0 ) t - 1 2 g t 2

Passo 3

Percebe que a gente tem duas equações:

Δ x = v 0 cos ⁡ θ 0 t

Δ y = ( v 0 sin ⁡ θ 0 ) t - 1 2 g t 2

E temos duas incógnitas, t e v 0 . Como queremos v 0 , vamos isolar t a primeira equação e substituir na segunda:

Δ x = v 0 cos ⁡ θ 0 t → t = Δ x v 0 cos ⁡ θ 0

Substituindo na segunda:

Δ y = ( v 0 sin ⁡ θ 0 ) Δ x v 0 cos ⁡ θ 0   - 1 2 g Δ x v 0 cos ⁡ θ 0 2  

Δ y = ( Δ x tan ⁡ θ 0 )   - 1 2 g Δ x v 0 cos ⁡ θ 0 2

Isolando e resolvendo para a velocidade inicial, temos:

v 0 = g 2 Δ x ⋅ tan ⁡ θ - Δ y cos 2 ⁡ θ ⋅ Δ x

Substituindo os valores, temos:

v 0 = 9,81 2 0,50 ⋅ tan ⁡ 60 ° - 0,25 cos 2 ⁡ 60 ° ⋅ 0,50

v 0 = 2,822   m / s

Passo 4

b) Para saber se a gota estará caindo ou subindo ao atingir a aranha, podemos analisar a componente da sua velocidade vertical no momento. Se esta for positiva a gota está subindo, mas se for negativa, ela estará acaindo.

A gente pode usar a expressão da equação horária da velocidade quando temos aceleração constante (como é o caso da vertical):

v y = v 0 y + a y t

Lembrando que v y = v 0 s e n   θ 0 e a = - g :

v y = v 0 sin ⁡ θ 0 - g t

Só que não sabemos t , né? Mas lembra que do movimento horizontal, a gente tinha que

Δ x = v 0 cos ⁡ θ 0 t → t = Δ x v 0 cos ⁡ θ 0

E substituindo isso na equação de v y :

v y = v 0 sin ⁡ θ - g ⋅ x v 0 cos ⁡ θ

Substituindo os valores, temos que:

v y = 2,822 ⋅ sin ⁡ 60 ° - 9,81 ⋅ 0,50 2,822 ⋅ cos ⁡ 60 °

v y = - 1,032   m / s

Como a componente da velocidade vertical é negativa, a gota estará caindo.

Resposta

a ) v 0 = 2,822   m / s

b )   C a i n d o

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