Enunciado

Uma bolinha de massa de modelar, de massa m , cai do teto sobre a borda de uma plataforma giratória de raio R e momento de inércia I o que gira livremente com uma rapidez angular ω 0 em torno do seu eixo de simetria fixo e vertical. (a) Após a colisão, qual é a rapidez angular do sistema plataforma-bolinha? (b) Após várias voltas, a bolinha se solta da borda da plataforma, qual é, agora, a rapidez angular da plataforma?

Passo 1

Obs: Antes de começar, corrigimos no enunciado o símbolo da rapidez angular. Ele dá como θ 0 , mas esse é o símbolo da posição angular inicial. O símbolo da rapidez angular inicial deve ser ω 0 . Vamos usar esse ultimo símbolo, ok?

(a) Vamos considerar um sistema formado pela plataforma e pela bolinha. Não existe nenhum torque externo agindo sobre esse sistema, então o momento angular deve se conservar.

Inicialmente, apenas a plataforma giratória tinha algum momento angular, então o momento angular inicial pode ser dado por

L o = I 0 ω 0

Após a “colisão”, podemos tratar a bolinha e a plataforma como um único corpo de momento de inércia I 1 e rapidez angular ω 1 :

L 1 = I 1 ω 1

E aplicando a conservação de momento:

L o = L 1

I 0 ω 0 = I 1 ω 1

ω 1 = I 0 I 1 ω 0

Passo 2

Agora vamos procurar uma expressão para o novo momento de inércia I 1 da plataforma. Bastante adicionar, ao momento de inércia da plataforma giratória somente I 0 , o momento da bolinha de massa m presa a uma distância R do eixo de simetria.

A gente pode imaginar que essa bolinha é uma partícula de massa m distante R do eixo de rotação, logo

I = m R 2

E o momento de inércia do conjunto é

I 1 = I 0 + m R 2

E então:

ω 1 = I 0 I 0 + m R 2 ω 0

Passo 3

(b) Queremos a rapidez angular da plataforma depois que a bolinha descola da sua superfície. Vamos usar conservação de momento angular novamente.

No item anterior a gente interpretou a plataforma e a bolinha como um conjunto quando elas estavam coladas. Aqui a gente pode interpretar como dois corpos, mas que possuem a mesma velocidade angular ω 1 , a que a gente achou no item a). Então inicialmente temos

L b o l + L p l a t

O que muda no momento angular da bolinha se ela sai voando em uma direção tangente à plataforma giratória? Absolutamente nada! Olha a expressão do momento angular

L → = r → × p →

Ao ser arremessada tangencialmente (por inércia) a bolinha mantém a mesma velocidade que tinha antes, logo o momento p → permanece igual, porque ele leva em conta a velocidade da bolinha e a massa dela. Duas coisas que não vão mudar.

Além disso, para o momento angular, contamos a distância perpendicular entre o eixo de referência e a direção do vetor p → , e essa distância não muda quando a bolinha sai em linha reta, continua sendo R .

Como não temos nenhum torque externo resultante agindo sobre o sistema, podemos escrever a seguinte relação para o momento antes e depois da bolinha ser arremessada:

L b o l + L p l a t = L b o l ' + L p l a t '

Já vimos que o momento angular da bolinha não muda, então L b o l = L b o l ' , então:

L p l a t = L p l a t '

I 1 ω 1 = I ' ω '

E como o momento de inércia da plataforma também não muda, porque ele só depende da geometria da plataforma, ele vai sempre valer I 0 . Podemos substituir I 1 = I ' = I 0 :

I 0 ω 1 = I 0 ω ' → ω 1 = ω '

Já sabemos quando vale ω 1 do item anterior:

ω ' = ω 1 = I 0 I 0 + m R 2 ω 0

Resposta

(a) ω 1 = I 0 I 0 + m R 2 ω 0 .

(b) A rapidez angular continua igual: ω f = ω 1 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um disco de vinil horizontal de massa 0,10k g e raio 0,10m gira livremente em torno de um eixo vertical que passa pelo centro com uma velocidade angular de 4,7r a d / s . O momento de inércia do disco
Atira-se uma bala de argila grudenta com massa m e velocidade v → i contra um cilindro sólido de massa M e raioR (Fig. P10.75). O cilindro está inicialmente em repouso, montado sobre um eixo horizonta
Um projétil de massa m move-se para a direita com uma velocidade v i (Fig. P10.81a). O projétil atinge e gruda em uma extremidade de uma barra fixa de massa M , comprimento d , articulada sobre um eix
Um time de hóquei no gelo local lhe pediu para projetar um aparelho para medir a velocidade do disco de hóquei depois de uma tacada certeira. Você projeta uma barra uniforme com 2,00 m de extensão, pi
Você está projetando um escorregador para um parque aquático. Em uma posição sentada, os frequentadores do parque deslizam por uma distância h descendo no toboágua, com atrito desprezível. Quando alca