Enunciado

Uma bússola é colocada em uma superfície horizontal e a agulha recebe um leve empurrão que a faz oscilar em torno da posição de equilíbrio. A frequência de oscilação é de 0,312   H z . O campo magnético da Terra no local possui uma componente horizontal de 18,0   μ T e a agulha possui um momento magnético de 0,680   m J / T . Determine o momento de inércia da agulha em relação ao eixo (vertical) de rotação.

Passo 1

Quando a agulha (que é um ímã) é perturbada, ela passa a oscilar em torno na posição de equilíbrio. No capítulo 28, vimos que o torque sobre um ímã é dado por

τ → = μ → × B →

Assim, como o torque é restaurador (para que o movimento seja oscilatório):

τ = - μ B   s e n   θ

Por outro lado, em física 1 você aprendeu que

τ = I d 2 θ d t 2 ,

onde I é o momento de inércia. Portanto,

I d 2 θ d t 2 = - μ B   s e n   θ ⇒ d 2 θ d t 2 = - μ B I   s e n   θ

Para ângulos pequenos, s e n   θ ≈ θ . Obtemos assim a equação para o movimento harmônico simples:

d 2 θ d t 2 = - μ B I   θ

Passo 2

A equação que você deve conhecer para o movimento harmônico simples é

d 2 x d t 2 = - ω 2   x ,

onde ω é a frequência angular. Comparando as equações, tiramos que

ω 2 = μ B I

Assim,

I = μ B ω 2

Por outro lado, a frequência angular é dada por

ω = 2 π f

Assim,

I = μ B 4 π 2 f 2

Passo 3

Usando μ = 0,680 ⋅ 10 - 3   J / T , B = 18,0 ⋅ 10 - 6   T e f = 0,312   H z , obtemos que o momento de inércia é

I = 3,19 ⋅ 10 - 9   k g   m 2

Resposta

I = 3,19 ⋅ 10 - 9   k g   m 2

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