Enunciado

Uma caixa de 3,00   k g que está a centenas de metros acima da superfície da terra é suspensa pela ponta de uma corda vertical com massa desprezível. Uma força para cima, dependente do tempo, é aplicada à ponta superior da corda e resulta em uma tensão de T t = 36,0   N / s   t sobre a corda. A caixa está em repouso em t = 0 . As únicas forças sobre a caixa são a tensão sobre ela e a gravidade. (a) Qual é a velocidade da caixa em (i) t = 1,00   s e (ii) t = 3,00   s ? (b) Qual é a distância máxima que a caixa desce abaixo de sua posição inicial? (c) Em que valor de t a caixa retorna à sua posição inicial?

Passo 1

Fala pessoal, bora resolver um probleminha de dinâmica?

O primeiro passo é definir um sistema de coordenadas. Vou definir um eixo y com origem na posição inicial da caixa e que aponta para baixo. Com isso:

T → = - T   y ^             e           P → = + P   y ^

Portanto,

m a y = P - T

Logo,

m a y = m g - k t ,               k = 36,0   N / s

Isolando a aceleração nós achamos

a y = d v y d t = g - k m t

Passo 2

Integrando essa expressão entre t ' = 0 e t ' = t nós achamos a função velocidade:

v y t - v y 0 = ∫ 0 t a y t '   d t '

Como v y 0 = 0 , segue que

v y t = ∫ 0 t g - k m t '   d t ' = g t - k 2 m t 2

Para achar a função posição integramos novamente:

y t - y 0 = ∫ 0 t v y t '   d t ' = ∫ 0 t g t ' - k 2 m t ' 2   d t '

Como y 0 = 0 (por escolha discutida no passo 1), temos que

y t = g t 2 2 - k 6 m t 3

Substituindo g = 9,8   m / s 2 , k = 36,0   N / s e m = 3,00   k g , achamos

v y t = 9,8   t - 6   t 2

y t = 4,9   t 2 - 2   t 3

Passo 3

Para t = 1,00   s temos

v y t = 1,00   s = 9,8 ⋅ 1,00 - 6 ⋅ 1,00 2 → v y t = 1,00   s = 3,8   m / s

Já para t = 3,00   s :

v y t = 3,00   s = 9,8 ⋅ 3,00 - 6 ⋅ 3,00 2 → v y t = 3,00   s = - 24,6   m / s

Para encontrar a distância máxima que a caixa desce basta achar o máximo da função y t ! Primeiro achamos os pontos críticos fazendo v t = 0 :

9,8   t - 6   t 2 = 0 → t = 0         o u         t = 1,63   s

A aceleração é

a t = 9,8 - 12   t

Assim,

a y t = 0 = 9,8   m / s 2           e           a y t = 1,63   s = - 9,76   m / s 2

O ponto de máximo ocorre quando a segunda derivada, isto é, a aceleração é negativa. Logo, t = 1,63   s corresponde a um ponto de máximo! A distância correspondente é

y m a x = y t = 1,63   s = 4,9 ⋅ 1,63 2 - 2 ⋅ 1,63 3

Logo,

y m a x = 4,36   m

Passo 4

Por fim, vamos achar quando a caixa retorna para a posição inicial y = 0 :

0 = 4,9   t 2 - 2 t 3

As soluções dessa equação são

t = 0   s             o u             t = 2,45   s

Como t = 0   s é o instante inicial, a caixa retorna à posição inicial em

t = 2,45   s

Resposta

v y t = 1,00   s = 3,8   m / s

v y t = 3,00   s = - 24,6   m / s

y m a x = 4,36   m

t = 2,45   s

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