Enunciado

Uma vítima de acidente que quebrou a perna está imobilizada numa cama com sua perna mantida suspensa e tensionada. O paciente calça uma bota especial presa a um cabo que passa por uma polia. O pé e a bota possuem uma massa conjunta de 4,0   k g , e o médico decidiu usar uma massa de 6,0   k g presa na extremidade do cabo. A bota, então, é mantida suspensa pelo cabo e não toca a cama.

  1. Usando a primeira lei de Newton para analisar a massa suspensa, determine o valor de tensão no cabo.
  2. A força de tração resultante precisa puxar a perna horizontalmente para a frente. Qual é o valor apropriado do ângulo θ da parte superior do cabo?
  3. Qual é o valor da força de tração resultante sobre a perna?

Sugestão: se as polias não têm atrito, como consideramos aqui, a tensão no cabo é constante de uma extremidade a outra.

Passo 1

Nosso primeiro passo vai ser desenhar todas as força de atuam no pé do paciente e no bloco de massa:

As força que atuam no pé do paciente são as duas tensões na sessão inferior e superior do cabo, a força peso e a tensão feita pela própria perna do paciente.

Já as forças que atuam no bloco de massa são a tensão no cabo e a força peso.

Note que que estamos considerando que as polias não possuem atrito e por isso as tensões no cabo são as mesmas

Passo 2

  1. Usando a primeira lei de Newton para analisar a massa suspensa, determine o valor de tensão no cabo.
  2. Vamos olhar só para o diagrama de corpo livre do bloco de massa. Esse bloco está em equilíbrio, então o somatório de forças que atuam sobre o bloco precisa ser zero.

    ∑ F y = 0

    T - F P = 0

    T = F P

    T = m g

    A massa do bloco foi fornecida na questão e a aceleração da gravidade tem um valor conhecido:

    m = 6   K g

    g = 9,8   m / s 2

    Então:

    T = 6   x   9,8 = 58,8   N  

    Passo 3

  3. A força de tração resultante precisa puxar a perna horizontalmente para a frente. Qual é o valor apropriado do ângulo θ da parte superior do cabo?
  4. Agora, vamos olhar para o diagrama de corpo livro do pé do paciente. Podemos decompor as tensões na corda em componentes na direção x e na direção y :

    Sempre lembrando: colada – cosseno, separada – seno

    O pé do paciente também está em equilíbrio e o somatório das forças em nas duas direções x e y tem que ser zero. Nesse momento, vamos olhar para a direção y :

    ∑ F y = 0

    ∑ F y = - F P - T s e n   15 ° + T s e n   θ = 0

    T s e n   θ = F P + T s e n   15 °

    s e n   θ = m p + b g + T s e n   15 ° T

    A massa do conjunto pé mais bota foi dado na questão:

    m p + b = 4   K g

    O valor da tensão nós achamos na letra a:

    T = 58,8   N

    E:

    s e n   15 ° = 0,2588

    Então:

    s e n   θ = 4   x   9,8 + 58,8   x   0,2588 58,8 = 0,92547

    Agora, para sabermos o ângulo θ precisamos fazer o inverso da função seno:

    s e n   θ = 0,92547

    θ = a r c s e n   0,92547

    θ = 67,7 °

    Passo 4

  5. Qual é o valor da força de tração resultante sobre a perna?

Agora, vamos olhar para a direção x :

∑ F x = 0

∑ F y = - T p e r n a + T c o s   15 ° + T c o s   θ = 0

T p e r n a = T c o s   15 ° + T c o s   θ

T p e r n a = T ( c o s   15 ° + c o s   θ )

Temos que:

cos ⁡ 15 ° = 0,9659

c o s   θ = c o s   67,7 ° = 0,3794

E a tensão na corda nós já calculamos:

T = 58,8   N

Logo:

T p e r n a = 58,8   0,9659 + 0,3794 = 79   N

Matamos a questão =)

Resposta

  1. T = 58,8   N
  2. θ = 67,7 °
  3. T p e r n a = 79   N
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