Enunciado

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Uma caixa contém N moléculas iguais de um gás, igualmente divididas nos dois lados da caixa. Qual é, para N = 50 :

( a ) a multiplicidade W da configuração central,

( b ) o número total de microestados e

( c ) a porcentagem do tempo que o sistema passa na configuração central?

Qual é, para N = 100 :

( d ) a multiplicidade W da configuração central,

( e ) o número total de microestados e

( f ) a porcentagem do tempo que o sistema passa na configuração central?

Qual é, para N = 200 :

( g ) a multiplicidade W da configuração central,

( h ) o número total de microestados e

( i ) a porcentagem do tempo que o sistema passa na configuração central?

j O tempo que o sistema passa na configuração central aumenta ou diminui quando N aumenta?

Passo 1

Olá pessoal, tudo bem? Vamos treinar um pouco de mecânica estatística? Bora lá?

Vamos primeiro definir tudo que vai ser preciso para calcular todos os itens que são pedidos. Vamos começar?

O número de multiplicidade de estados possíveis W para uma certa configuração é dado por:

W = N ! n 1 ! n 2 !

A configuração central que o problema fala é quando metade das moléculas estão de um lado, e a outra metade está do outro.

E número total de microestados? Bom, como temos duas configurações possíveis, ou seja l a d o   1 e l a d o   2 , teremos 2 N microestados possíveis (ou configurações possíveis). Se tivéssemos falando de níveis de energia, por exemplo 3   n í v e i s e N partículas, falaríamos de 3 N possíveis microestados, ok?

A porcentagem que o sistema fica em qualquer configuração é dado por uma relação de probabilidade bem simples:

P = q u e r o t e n h o

Se queremos o tempo que o sistema passa na configuração central, teremos:

P = n ú m e r o   d e   e s t a d o s   n a   c o n f i g u r a ç ã o   c e n t r a l n ú m e r o   t o t a l   d e   c o n f i g u r a ç õ e s  

Show! Vamos agora calcular para cada caso específico? Bora lá!

Passo 2

  • Para N = 50 , a configuração central vai ser quando n 1 = n 2 = 25 , assim W fica:
  • W = 50 ! 25 ! 25 ! = 1,26.10 14

  • O número total de microestados vai ser:
  • 2 50 = 1,12.10 15

  • E a porcentagem que o sistema passa na configuração central vai ser:
  • P = 1,26.10 14 1,12.10 15 = 0,1122 = 11,22 %

    Agora vamos repetir isso para as outras duas situações que o problema trás e verificar o que acontece com o valor de P à medida que o número N aumenta. Vamos?

    Passo 3

  • Para N = 100 , a configuração central vai ser quando n 1 = n 2 = 50 , assim W fica:
  • W = 100 ! 50 ! 50 !

    W = 1,0089134.10 29

  • O número total de microestados vai ser:
  • 2 100 = 1,2676506.10 30

  • E a porcentagem que o sistema passa na configuração central vai ser:
  • P = 1,0089134.10 29 1,2676506.10 30 = 0,07958 = 7,95 %

    Passo 4

  • Para N = 200 , a configuração central vai ser quando n 1 = n 2 = 100 , assim W fica:
  • W = 200 ! 100 ! 100 ! = 1,606938044.10 60

  • O número total de microestados vai ser:
  • 2 200

  • E a porcentagem que o sistema passa na configuração central vai ser:

P = 200 ! 100 ! 100 ! 2 200 = 200 ! 100 ! 100 ! 2 200

Se você usar uma calculadora (no meu caso a do Google) vai encontrar a mensagem “error” e isso ocorre quando temos números muito grandes. Isso se deve ao fato de que uma função exponencial é mais “rápida” do que uma função fatorial.

Para N partículas, teremos:

P = N ! N 2 ! N 2 ! 2 N

Vamos fazer para valores intermediários para termos uma Idea melhor:

Para N = 60 :

P = 60 ! 30 ! 30 ! 2 60 = 10,25 %

Para N = 70 :

P = 70 ! 35 ! 35 ! 2 70 = 9,50 %

Para N = 80 :

P = 80 ! 40 ! 80 ! 2 80 = 8,89 %

Assim à medida que o número de partículas aumenta, o tempo que o sistema passa na configuração central diminui.

Resposta

( a ) 1,26.10 14

( b ) 1,12.10 15

( c ) 11,22 %

( d ) 1,0089134.10 29

( e ) 1,2676506.10 30

( f ) 7,95 %

( g ) 1,606938044.10 60

h 2 200

( i ) 0

( j ) d i m i n u i

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