Enunciado

Calcule o momento de inércia de uma chapa retangular para rotações em torno de um eixo perpendicular à chapa e que passa por seu centro.

Passo 1

Vamos começar esse problema usando a equação de momento de inercia:

I = ∫ r 2   d m

Se a gente colocar a origem do nosso sistema de coordenadas no centro da chapa, exatamente onde passa o eixo, r 2 na integral passa a ser:

I = ∫ x 2 + y 2   d m

Então se pegarmos um ponto qualquer da chapa, a posição dele vai ser o valor de uma hipotenusa formada pelas coordenadas x e y desse ponto, o que faz sentido.

Passo 2

Agora precisamos escrever d m em termos das coordenadas x e y , ou seja, cada ponto d x d y da chapa corresponde a um valor d m , nossa expressão fica:

d m = ρ d x d y

Onde ρ é a densidade superficial da chapa.

Essa densidade é a quantidade de massa por unidade de área:

ρ = M A

E nosso d m fica:

d m = M A d x d y

Passo 3

Agora a gente substitui na nossa integral:

I = ∫ ∫ ( x 2 + y 2   ) M A d x d y

E o que fica faltando é determinar os limites de integração, como x 2 e y 2 são a distância do eixo até cada ponto da chapa e esse eixo passa no centro, basta a gente fazer:

I = M A ∫ - L / 2 L / 2 ∫ - L / 2 L / 2 ( x 2 + y 2   ) d x d y

Integrando:

I = M A ∫ - L / 2 L / 2 x 3 3   + y 2 x L / 2 - L / 2 d y

I = 2 M A ∫ - L / 2 L / 2 L 3 24   + y 2 L 2   L / 2 - L / 2   d y

E de novo em y , ficamos com:

I = 8 M A L 4 48

Como nesse caso a área é L 2 já que a chapa é quadrada:

I = 8 M L 2 L 4 48

Simplificando:

1 6 M L 2

Resposta

1 6 M L 2

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